微积分学示例

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

将 $2$ 移到 $x - 3$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.8

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.9

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.9.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.9.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x - 6) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 6) (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1.2.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x (x - 1) - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.3.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $6 x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.4

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1.5.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.5.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.5.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.6

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1.6.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.6.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.6.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.6.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.6.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.7

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1.8.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 6 + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.3

将 $- 8 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 6 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.4

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x + 5$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $- 6$ 。

$- 5, - 1$

解题步骤 1.1.4.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$(x - 5) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 2.3.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $(x - 5) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = 5$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $5$ 替换 $x$ 。

$\frac{{((5) - 1)}^{2}}{(5) - 3}$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$\frac{4^{2}}{5 - 3}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{16}{5 - 3}$

解题步骤 4.1.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$\frac{16}{2}$

解题步骤 4.1.2.2.2

用 $16$ 除以 $2$ 。

$8$

解题步骤 4.2

在 $x = 1$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{{((1) - 1)}^{2}}{(1) - 3}$

解题步骤 4.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0^{2}}{1 - 3}$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{1 - 3}$

解题步骤 4.2.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.2.1

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{- 2}$

解题步骤 4.2.2.2.2

用 $0$ 除以 $- 2$ 。

$0$

解题步骤 4.3

在 $x = 3$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{(3) - 3}$

解题步骤 4.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{0}$

解题步骤 4.3.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(5, 8), (1, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例