微积分学示例

$f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$(x - 1) (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$(x - 1) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 1) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 1) (x - 2) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 1) (x - 2) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 1.1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.4

求微分。

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解题步骤 1.1.4.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.4.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.4.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.4.5

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.1.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.1.4.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) (1 + 0))$

解题步骤 1.1.4.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.1.4.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) \cdot 1)$

解题步骤 1.1.4.8.2

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + x - 2)$

解题步骤 1.1.4.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (2 x - 1 - 2)$

解题步骤 1.1.4.8.4

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (2 x - 3)$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

运用分配律。

$(x - 1) x + (x - 1) \cdot - 2 + (x - 3) (2 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.2

运用分配律。

$x \cdot x - 1 x + (x - 1) \cdot - 2 + (x - 3) (2 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.3

运用分配律。

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + (x - 3) (2 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.4

运用分配律。

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.5

运用分配律。

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.6

运用分配律。

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7

合并项。

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解题步骤 1.1.5.7.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{1} - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 1} - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.5

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} - x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.6

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - x - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.7

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} - x - 2 x + 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.8

从 $- x$ 中减去 $2 x$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 (x^{1} x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 (x^{1} x^{1}) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.13

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.14

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x - 3 \cdot x - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.7.15

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x - 3 x + 9$

解题步骤 1.1.5.7.16

从 $- 6 x$ 中减去 $3 x$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 9 x + 9$

解题步骤 1.1.5.7.17

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} - 3 x + 2 - 9 x + 9$

解题步骤 1.1.5.7.18

从 $- 3 x$ 中减去 $9 x$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 2 + 9$

解题步骤 1.1.5.7.19

将 $2$ 和 $9$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 11$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 12 x + 11$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 11$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 12 x + 11 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 11 = 0$

解题步骤 2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3

将 $a = 3$ 、 $b = - 12$ 和 $c = 11$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 11)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 11$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $11$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.3

从 $144$ 中减去 $132$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.4.3

化简 $\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 11$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $11$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $144$ 中减去 $132$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.5.3

化简 $\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 11$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $11$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.3

从 $144$ 中减去 $132$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.6.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $(x - 1) (x - 2) (x - 3)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ 替换 $x$ 。

$((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 1) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$(\frac{6 + \sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.2

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.2.1

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$(\frac{6 + \sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{6 + \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 + \sqrt{3} - 3}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.3.2

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.4

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} (\frac{6 + \sqrt{3}}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.5

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.5.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} (\frac{6 + \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{3} - 2 \cdot 3}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{3} - 6}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.6.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{0 + \sqrt{3}}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.6.3

将 $0$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.7

乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{(3 + \sqrt{3}) \sqrt{3}}{3 \cdot 3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.7.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(3 + \sqrt{3}) \sqrt{3}}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.8

化简项。

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解题步骤 4.1.2.8.1

运用分配律。

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.8.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.9

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.9.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.9.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.9.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 \sqrt{3} + 3}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.10

约去 $3 \sqrt{3} + 3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.10.1

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.10.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.10.3

从 $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.10.4

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.10.4.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (3)} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.10.4.2

约去公因数。

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.10.4.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.1.2.11

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} (\frac{6 + \sqrt{3}}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 4.1.2.12

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.12.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} (\frac{6 + \sqrt{3}}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

解题步骤 4.1.2.12.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{3} - 3 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.1.2.13

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.13.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{3} - 9}{3}$

解题步骤 4.1.2.13.2

从 $6$ 中减去 $9$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} \cdot \frac{- 3 + \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.1.2.14

乘以 $\frac{\sqrt{3} + 1}{3} \cdot \frac{- 3 + \sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.14.1

将 $\frac{\sqrt{3} + 1}{3}$ 乘以 $\frac{- 3 + \sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (- 3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.2.14.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (- 3 + \sqrt{3})}{9}$

解题步骤 4.1.2.15

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.15.1

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{3} + 1) (- 3 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.1.2.15.1.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3}) + 1 (- 3 + \sqrt{3})}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.1.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3} + 1 (- 3 + \sqrt{3})}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.1.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3} + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.2.15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.15.2.1.1

将 $- 3$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{- 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.2.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{- 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3} + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.2.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 \sqrt{3} + \sqrt{9} + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.2.1.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{- 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}} + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.2.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 3 \sqrt{3} + 3 + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.2.1.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.2.1.7

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3 + \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.2.2

将 $- 3 \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{3 - 3 - 2 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.2.3

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0 - 2 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.1.2.15.2.4

从 $0$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.1.2.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ 替换 $x$ 。

$((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 1) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$(\frac{6 - \sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.2.1

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$(\frac{6 - \sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{6 - \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 - \sqrt{3} - 3}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.3.2

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.4

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (\frac{6 - \sqrt{3}}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.5

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.5.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (\frac{6 - \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6 - \sqrt{3} - 2 \cdot 3}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.6.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6 - \sqrt{3} - 6}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.6.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{0 - \sqrt{3}}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.6.3

从 $0$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3}) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.8

乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.2.8.1

将 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{3 \cdot 3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.8.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.9

运用分配律。

$- \frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.10

乘以 $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 4.2.2.10.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.10.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.10.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.11

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.11.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.2.11.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.11.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.11.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.11.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.11.1.4.1

约去公因数。

$- \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.11.1.4.2

重写表达式。

$- \frac{3 \sqrt{3} - 3^{1}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.11.1.5

计算指数。

$- \frac{3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3} - 3}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.12

约去 $3 \sqrt{3} - 3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.12.1

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (\sqrt{3}) - 3}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.12.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.12.3

从 $3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.12.4

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.12.4.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 (3)} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.12.4.2

约去公因数。

$- \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 \cdot 3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.12.4.3

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

解题步骤 4.2.2.13

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} (\frac{6 - \sqrt{3}}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 4.2.2.14

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.14.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} (\frac{6 - \sqrt{3}}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

解题步骤 4.2.2.14.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} \cdot \frac{6 - \sqrt{3} - 3 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.2.15

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.15.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} \cdot \frac{6 - \sqrt{3} - 9}{3}$

解题步骤 4.2.2.15.2

从 $6$ 中减去 $9$ 。

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} \cdot \frac{- 3 - \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.2.16

乘以 $- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} \cdot \frac{- 3 - \sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 4.2.2.16.1

将 $\frac{- 3 - \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$ 。

$- \frac{(- 3 - \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 1)}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.2.16.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{(- 3 - \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 1)}{9}$

解题步骤 4.2.2.17

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.17.1

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 - \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.2.17.1.1

运用分配律。

$- \frac{- 3 (\sqrt{3} - 1) - \sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.1.2

运用分配律。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} - 3 \cdot - 1 - \sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.1.3

运用分配律。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} - 3 \cdot - 1 - \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.2.17.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.17.2.1.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.2

乘以 $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 4.2.2.17.2.1.2.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - {\sqrt{3}}^{1 + 1} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - {\sqrt{3}}^{2} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.2.17.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.17.2.1.3.4.1

约去公因数。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.3.4.2

重写表达式。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3^{1} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.3.5

计算指数。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 1 \cdot 3 - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3 - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.5

乘以 $- \sqrt{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.2.17.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.1.5.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3 + \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.2

将 $- 3 \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$- \frac{3 - 3 - 2 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.3

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{0 - 2 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.2.2.17.2.4

从 $0$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.2.2.18

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.2.2.19

乘以 $- - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ 。

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解题步骤 4.2.2.19.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.2.2.19.2

将 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{6 + \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9}), (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例