微积分学示例

$f (x) = (4 x - 6) (5 x + 1)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 4 x - 6$ 且 $g (x) = 5 x + 1$ 。

$(4 x - 6) \frac{d}{d x} [5 x + 1] + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $5 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(4 x - 6) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(4 x - 6) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 x - 6) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

解题步骤 1.1.2.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$(4 x - 6) (5 + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x - 6) (5 + 0) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

解题步骤 1.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$(4 x - 6) \cdot 5 + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $5$ 移到 $4 x - 6$ 的左侧。

$5 \cdot (4 x - 6) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

解题步骤 1.1.2.7

根据加法法则， $4 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 1.1.2.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 1.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 1.1.2.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 1.1.2.11

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 + 0)$

解题步骤 1.1.2.12

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.12.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) \cdot 4$

解题步骤 1.1.2.12.2

将 $4$ 移到 $5 x + 1$ 的左侧。

$5 (4 x - 6) + 4 \cdot (5 x + 1)$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$5 (4 x) + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x + 1)$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$5 (4 x) + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

合并项。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 x + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $5$ 乘以 $- 6$ 。

$20 x - 30 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3.3

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$20 x - 30 + 20 x + 4 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$20 x - 30 + 20 x + 4$

解题步骤 1.1.3.3.5

将 $20 x$ 和 $20 x$ 相加。

$40 x - 30 + 4$

解题步骤 1.1.3.3.6

将 $- 30$ 和 $4$ 相加。

$f' (x) = 40 x - 26$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $40 x - 26$ 。

$40 x - 26$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $40 x - 26 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$40 x - 26 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $26$ 。

$40 x = 26$

解题步骤 2.3

将 $40 x = 26$ 中的每一项除以 $40$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $40 x = 26$ 中的每一项都除以 $40$ 。

$\frac{40 x}{40} = \frac{26}{40}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $40$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{40 x}{40} = \frac{26}{40}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{26}{40}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

约去 $26$ 和 $40$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.1

从 $26$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (13)}{40}$

解题步骤 2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

从 $40$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{13}{20}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $(4 x - 6) (5 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{13}{20}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{13}{20}$ 替换 $x$ 。

$(4 (\frac{13}{20}) - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$(4 \frac{13}{4 (5)} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

解题步骤 4.1.2.1.2

约去公因数。

$(4 \frac{13}{4 \cdot 5} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

解题步骤 4.1.2.1.3

重写表达式。

$(\frac{13}{5} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

解题步骤 4.1.2.2

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$(\frac{13}{5} - 6 \cdot \frac{5}{5}) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

解题步骤 4.1.2.3

组合 $- 6$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$(\frac{13}{5} + \frac{- 6 \cdot 5}{5}) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

解题步骤 4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{13 - 6 \cdot 5}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

解题步骤 4.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.5.1

将 $- 6$ 乘以 $5$ 。

$\frac{13 - 30}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

解题步骤 4.1.2.5.2

从 $13$ 中减去 $30$ 。

$\frac{- 17}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

解题步骤 4.1.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{17}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

解题步骤 4.1.2.7

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.7.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{17}{5} (5 \frac{13}{5 (4)} + 1)$

解题步骤 4.1.2.7.2

约去公因数。

$- \frac{17}{5} (5 \frac{13}{5 \cdot 4} + 1)$

解题步骤 4.1.2.7.3

重写表达式。

$- \frac{17}{5} (\frac{13}{4} + 1)$

解题步骤 4.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{17}{5} (\frac{13}{4} + \frac{4}{4})$

解题步骤 4.1.2.8.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{17}{5} \cdot \frac{13 + 4}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.3

将 $13$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{4}$

解题步骤 4.1.2.9

乘以 $- \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{4}$ 。

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解题步骤 4.1.2.9.1

将 $\frac{17}{4}$ 乘以 $\frac{17}{5}$ 。

$- \frac{17 \cdot 17}{4 \cdot 5}$

解题步骤 4.1.2.9.2

将 $17$ 乘以 $17$ 。

$- \frac{289}{4 \cdot 5}$

解题步骤 4.1.2.9.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{289}{20}$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(\frac{13}{20}, - \frac{289}{20})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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