微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ 重写为 ${(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x + 8$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 2 x + 8$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x^{2} - 2 x + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 1.1.3.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 1.1.3.6

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

解题步骤 1.1.3.7

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2)$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$

解题步骤 1.1.4.2

重新排序 $- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$ 的因式。

$- (2 x - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3

运用分配律。

$(- (2 x) - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 x - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$(- 2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.6

将 $- 2 x + 2$ 乘以 $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.7

从 $- 2 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.4.7.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.7.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.7.3

从 $2 (- x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.8

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.9

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.10

从 $- (x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.11

将 $- (x - 1)$ 重写为 $- 1 (x - 1)$ 。

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.12

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ 。

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 (x - 1) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 (x - 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $2 (x - 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $x - 1$ 除以 $1$ 。

$x - 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{1}{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 8}$

解题步骤 4.1.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{1 - 2 \cdot 1 + 8}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 - 2 + 8}$

解题步骤 4.1.2.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{- 1 + 8}$

解题步骤 4.1.2.4

将 $- 1$ 和 $8$ 相加。

$\frac{1}{7}$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(1, \frac{1}{7})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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