微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} + 25}{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 25$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25] - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25)}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9

化简。

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解题步骤 1.1.9.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 25}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.9.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$f' (x) = \frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ 。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$(x + 5) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 2.3.3

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $(x + 5) (x - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 5, 5$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x^{2} + 25}{x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 5$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 5$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 5)}^{2} + 25}{- 5}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25 + 25}{- 5}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $25$ 和 $25$ 相加。

$\frac{50}{- 5}$

解题步骤 4.1.2.2

用 $50$ 除以 $- 5$ 。

$- 10$

解题步骤 4.2

在 $x = 5$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $5$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(5)}^{2} + 25}{5}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25 + 25}{5}$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $25$ 和 $25$ 相加。

$\frac{50}{5}$

解题步骤 4.2.2.2

用 $50$ 除以 $5$ 。

$10$

解题步骤 4.3

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(0)}^{2} + 25}{0}$

解题步骤 4.3.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(- 5, - 10), (5, 10)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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