微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 9$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 5) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $2$ 移到 $x - 5$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 10 x + 9$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $9$ ，和为 $- 10$ 。

$- 9, - 1$

解题步骤 1.1.3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$f' (x) = \frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ 。

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$(x - 9) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = 9$

解题步骤 2.3.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $(x - 9) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 9, 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x^{2} - 9}{x - 5}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = 9$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $9$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(9)}^{2} - 9}{(9) - 5}$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81 - 9}{9 - 5}$

解题步骤 4.1.2.1.2

从 $81$ 中减去 $9$ 。

$\frac{72}{9 - 5}$

解题步骤 4.1.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

从 $9$ 中减去 $5$ 。

$\frac{72}{4}$

解题步骤 4.1.2.2.2

用 $72$ 除以 $4$ 。

$18$

解题步骤 4.2

在 $x = 1$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(1)}^{2} - 9}{(1) - 5}$

解题步骤 4.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - 9}{1 - 5}$

解题步骤 4.2.2.1.2

从 $1$ 中减去 $9$ 。

$\frac{- 8}{1 - 5}$

解题步骤 4.2.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.2.1

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 4.2.2.2.2

用 $- 8$ 除以 $- 4$ 。

$2$

解题步骤 4.3

在 $x = 5$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

代入 $5$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{(5) - 5}$

解题步骤 4.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{0}$

解题步骤 4.3.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(9, 18), (1, 2)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例