微积分学示例

$f (x) = \frac{4 x}{x - 6}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{x - 6}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 6}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 6}]$

解题步骤 1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 6$ 。

$4 \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{(x - 6) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $x - 6$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{x - 6 - x \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$4 \frac{x - 6 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{x - 6 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{x - 6 - x (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{x - 6 - x \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{x - 6 - x}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$4 \frac{0 - 6}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.6.4.1

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$4 \frac{- 6}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6.4.2

将负号移到分数的前面。

$4 (- \frac{6}{{(x - 6)}^{2}})$

解题步骤 1.1.3.6.4.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \frac{6}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6.5

组合 $- 4$ 和 $\frac{6}{{(x - 6)}^{2}}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.6.6.1

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 24}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6.6.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$ 。

$- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$24 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $24 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 6)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{4 x}{x - 6}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = 6$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $6$ 替换 $x$ 。

$\frac{4 (6)}{(6) - 6}$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{4 (6)}{0}$

解题步骤 4.1.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 5

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

微积分学 示例

微积分学示例