微积分学示例

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{4 x - 5}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 x - 5}$ 重写成 ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + 3$ 且 $g (x) = {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

将 ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{1}}$

解题步骤 1.1.4

化简。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.5

求微分。

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解题步骤 1.1.5.1

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.5.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.5.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.5.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.5.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.5.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.5.6.2

将 $2$ 移到 ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 x - 5$ 。

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解题步骤 1.1.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x - 5$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.6.3

使用 $4 x - 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.9

在公分母上合并分子。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.10

化简分子。

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解题步骤 1.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.11

合并分数。

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解题步骤 1.1.11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{{(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.12

根据加法法则， $4 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.13

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.15

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.16

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0))}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.17

化简项。

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解题步骤 1.1.17.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4)}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.17.2

组合 $\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $4$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{4}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.17.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.18

约去公因数。

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解题步骤 1.1.18.1

从 $2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.18.2

约去公因数。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.18.3

重写表达式。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19

化简。

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解题步骤 1.1.19.1

运用分配律。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.19.2.1

添加圆括号。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.2

使 $u_{2} = {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.19.2.2.1

从 $2 u_{2} \cdot u_{2} + 2 (- 2 x - 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.19.2.2.1.1

从 $2 u_{2} \cdot u_{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) + 2 (- 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.2.1.2

从 $2 (u_{2} \cdot u_{2}) + 2 (- 2 x - 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (u_{2} \cdot u_{2} - 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.2.2

将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

$\frac{\frac{2 ({u_{2}}^{2} - 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.3

使用 ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\frac{2 ({({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.4

化简。

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解题步骤 1.1.19.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.19.2.4.1.1

将 ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.19.2.4.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.4.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.19.2.4.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.4.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{1} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.4.1.2

化简。

$\frac{\frac{2 (4 x - 5 - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.4.2

从 $4 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x - 5 - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.4.3

从 $- 5$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x - 8)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.4.4

运用分配律。

$\frac{\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 8}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.4.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{4 x + 2 \cdot - 8}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.4.6

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{\frac{4 x - 16}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.5

从 $4 x - 16$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 1.1.19.2.5.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 (x) - 16}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.5.2

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 x + 4 \cdot - 4}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.2.5.3

从 $4 x + 4 \cdot - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.3

合并项。

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解题步骤 1.1.19.3.1

将 $\frac{\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$ 重写为乘积形式。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 x - 5}$

解题步骤 1.1.19.3.2

将 $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{4 x - 5}$ 。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (4 x - 5)}$

解题步骤 1.1.19.3.3

通过指数相加将 ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $4 x - 5$ 。

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解题步骤 1.1.19.3.3.1

将 ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $4 x - 5$ 。

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解题步骤 1.1.19.3.3.1.1

对 $4 x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 5)}^{1}}$

解题步骤 1.1.19.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.19.3.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.1.19.3.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 1.1.19.3.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$4 (x - 4) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $4 (x - 4) = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $4 (x - 4) = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $x - 4$ 除以 $1$ 。

$x - 4 = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{4 (x - 4)}{\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{4 (x - 4)}{\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}$ 重写成 ${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 。

${({(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 ${({(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

${(4 x - 5)}^{3} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(4 x - 5)}^{3} = 0$

解题步骤 3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $4 x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$4 x - 5 = 0$

解题步骤 3.3.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$4 x = 5$

解题步骤 3.3.3.2.2

将 $4 x = 5$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1

将 $4 x = 5$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

解题步骤 3.3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

解题步骤 3.3.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{5}{4}$

解题步骤 3.4

将 $\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(4 x - 5)}^{3} < 0$

解题步骤 3.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[3]{{(4 x - 5)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.5.2

化简方程。

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解题步骤 3.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1.1

从根式下提出各项。

$4 x - 5 < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$4 x - 5 < \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$4 x - 5 < 0$

解题步骤 3.5.3

在不等式两边同时加上 $5$ 。

$4 x < 5$

解题步骤 3.5.4

将 $4 x < 5$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $4 x < 5$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

解题步骤 3.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

解题步骤 3.5.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{5}{4}$

解题步骤 3.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq \frac{5}{4}$

$(- \infty, \frac{5}{4}]$

$x \leq \frac{5}{4}$

$(- \infty, \frac{5}{4}]$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{2 x + 3}{\sqrt{4 x - 5}}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$\frac{2 (4) + 3}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 + 3}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $8$ 和 $3$ 相加。

$\frac{11}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{11}{\sqrt{16 - 5}}$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $16$ 中减去 $5$ 。

$\frac{11}{\sqrt{11}}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $\frac{11}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{11}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

解题步骤 4.1.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $\frac{11}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{11 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

解题步骤 4.1.2.4.2

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

解题步骤 4.1.2.4.3

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

解题步骤 4.1.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.1.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4.6

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{11 \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{1}}$

解题步骤 4.1.2.4.6.5

计算指数。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11}$

解题步骤 4.1.2.5

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11}$

解题步骤 4.1.2.5.2

用 $\sqrt{11}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{11}$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{5}{4}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{5}{4}$ 替换 $x$ 。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{4 (\frac{5}{4}) - 5}}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{4 (\frac{5}{4}) - 5}}$

解题步骤 4.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{5 - 5}}$

解题步骤 4.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{0}}$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{0^{2}}}$

解题步骤 4.2.2.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{0}$

解题步骤 4.2.2.2.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{0}$

解题步骤 4.2.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(4, \sqrt{11})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例