微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (15)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 18$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} (15)$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $12 x^{3} - 36 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{3} - 36 x$ 。

$12 x^{3} - 36 x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{3} - 36 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{3} - 36 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $12 x^{3} - 36 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2}) - 36 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 36 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 3) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $12 x (x^{2}) + 12 x (- 3)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2} - 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$x^{2} = 3$

解题步骤 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $12 x (x^{2} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$3 {(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2} + 15$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 \cdot 0 - 18 {(0)}^{2} + 15$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 - 18 {(0)}^{2} + 15$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 18 \cdot 0 + 15$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 18$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 15$

解题步骤 4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 15$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $15$ 相加。

$15$

解题步骤 4.2

在 $x = \sqrt{3}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\sqrt{3}$ 替换 $x$ 。

$3 {(\sqrt{3})}^{4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$3 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.1.4.2.2

约去公因数。

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.1.4.2.3

重写表达式。

$3 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$3 \cdot 3^{2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{1} \cdot 3^{2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3^{1 + 2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3^{3} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$27 - 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.4.4.1

约去公因数。

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.4.4.2

重写表达式。

$27 - 18 \cdot 3^{1} + 15$

解题步骤 4.2.2.1.4.5

计算指数。

$27 - 18 \cdot 3 + 15$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $- 18$ 乘以 $3$ 。

$27 - 54 + 15$

解题步骤 4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $27$ 中减去 $54$ 。

$- 27 + 15$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $- 27$ 和 $15$ 相加。

$- 12$

解题步骤 4.3

在 $x = - \sqrt{3}$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $- \sqrt{3}$ 替换 $x$ 。

$3 {(- \sqrt{3})}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 (1 {\sqrt{3}}^{4}) - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$3 {\sqrt{3}}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$3 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.4.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.4.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.4.4.2.2

约去公因数。

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.4.4.2.3

重写表达式。

$3 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.4.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$3 \cdot 3^{2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.5

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.5.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.5.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{1} \cdot 3^{2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3^{1 + 2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3^{3} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.6

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.7

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$27 - 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 15$

解题步骤 4.3.2.1.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 - 18 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 15$

解题步骤 4.3.2.1.9

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$27 - 18 {\sqrt{3}}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.10

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$27 - 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.10.4.1

约去公因数。

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.10.4.2

重写表达式。

$27 - 18 \cdot 3^{1} + 15$

解题步骤 4.3.2.1.10.5

计算指数。

$27 - 18 \cdot 3 + 15$

解题步骤 4.3.2.1.11

将 $- 18$ 乘以 $3$ 。

$27 - 54 + 15$

解题步骤 4.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

从 $27$ 中减去 $54$ 。

$- 27 + 15$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $- 27$ 和 $15$ 相加。

$- 12$

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(0, 15), (\sqrt{3}, - 12), (- \sqrt{3}, - 12)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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