微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 6 (2 x)$

解题步骤 1.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 x$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2}) + 12 x^{2} - 12 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2}) + 12 x (x) - 12 x = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2}) + 12 x (x) + 12 x (- 1) = 0$

解题步骤 2.2.4

从 $12 x (x^{2}) + 12 x (x)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2} + x) + 12 x (- 1) = 0$

解题步骤 2.2.5

从 $12 x (x^{2} + x) + 12 x (- 1)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2} + x - 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} + x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} + x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + x - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3

化简。

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解题步骤 2.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.5

从 $\sqrt{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.6

从 $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.5

从 $- \sqrt{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.6

从 $- 1 (1) - (\sqrt{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $12 x (x^{2} + x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$3 {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 + 4 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 4 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 6 {(0)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 - 6 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 替换 $x$ 。

$3 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{4} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

对 $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{4}) + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

对 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$3 ({(- 1)}^{4} \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{4}}{2^{4}}) + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 (1 \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{4}}{2^{4}}) + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $\frac{{(1 - \sqrt{5})}^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.5

使用二项式定理。

$3 \frac{1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (- \sqrt{5}) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{5})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.6.1

一的任意次幂都为一。

$3 \frac{1 + 4 \cdot 1^{3} (- \sqrt{5}) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{5})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.2

一的任意次幂都为一。

$3 \frac{1 + 4 \cdot 1 (- \sqrt{5}) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{5})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{1 + 4 (- \sqrt{5}) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{5})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{5})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.5

一的任意次幂都为一。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 {(- \sqrt{5})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.7

对 $- \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 (1 {\sqrt{5}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.9

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 {\sqrt{5}}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.10

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.6.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.6.10.4.1

约去公因数。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.10.4.2

重写表达式。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 5^{1} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.10.5

计算指数。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 5 + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.11

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.12

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 + 4 {(- \sqrt{5})}^{3} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.13

对 $- \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}) + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 + 4 (- {\sqrt{5}}^{3}) + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.15

将 ${\sqrt{5}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{5^{3}}$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 + 4 (- \sqrt{5^{3}}) + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.16

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 + 4 (- \sqrt{125}) + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.17

将 $125$ 重写为 $5^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.6.17.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 + 4 (- \sqrt{25 (5)}) + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.17.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 + 4 (- \sqrt{5^{2} \cdot 5}) + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.18

从根式下提出各项。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 + 4 (- (5 \sqrt{5})) + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.19

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 + 4 (- 5 \sqrt{5}) + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.20

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + {(- \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.21

对 $- \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.22

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + 1 {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.23

将 ${\sqrt{5}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.24

将 ${\sqrt{5}}^{4}$ 重写为 $5^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.6.24.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.24.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.24.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{4}{2}}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.24.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.6.24.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.24.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.6.24.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.24.4.2.2

约去公因数。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.24.4.2.3

重写表达式。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{1}}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.24.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + 5^{2}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.6.25

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \frac{1 - 4 \sqrt{5} + 30 - 20 \sqrt{5} + 25}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.7

将 $1$ 和 $30$ 相加。

$3 \frac{31 - 4 \sqrt{5} - 20 \sqrt{5} + 25}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.8

将 $31$ 和 $25$ 相加。

$3 \frac{56 - 4 \sqrt{5} - 20 \sqrt{5}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.9

从 $- 4 \sqrt{5}$ 中减去 $20 \sqrt{5}$ 。

$3 \frac{56 - 24 \sqrt{5}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.10

约去 $56 - 24 \sqrt{5}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.10.1

从 $56$ 中分解出因数 $8$ 。

$3 \frac{8 (7) - 24 \sqrt{5}}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.10.2

从 $- 24 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $8$ 。

$3 \frac{8 (7) + 8 (- 3 \sqrt{5})}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.10.3

从 $8 (7) + 8 (- 3 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $8$ 。

$3 \frac{8 (7 - 3 \sqrt{5})}{16} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.10.4

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.10.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$3 \frac{8 (7 - 3 \sqrt{5})}{8 \cdot 2} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.10.4.2

约去公因数。

$3 \frac{8 (7 - 3 \sqrt{5})}{8 \cdot 2} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.10.4.3

重写表达式。

$3 \frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.11

组合 $3$ 和 $\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + 4 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.12

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.2.1.12.1

对 $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{3}) - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.12.2

对 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + 4 ({(- 1)}^{3} \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{3}}{2^{3}}) - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.13

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + 4 (- \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{3}}{2^{3}}) - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.14

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + 4 (- \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{3}}{8}) - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.15

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.15.1

将 $- \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{3}}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + 4 \frac{- {(1 - \sqrt{5})}^{3}}{8} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.15.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + 4 \frac{- {(1 - \sqrt{5})}^{3}}{4 (2)} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.15.3

约去公因数。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + 4 \frac{- {(1 - \sqrt{5})}^{3}}{4 \cdot 2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.15.4

重写表达式。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- {(1 - \sqrt{5})}^{3}}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.16

使用二项式定理。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- \sqrt{5}) + 3 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{2} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.17.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \cdot 1^{2} (- \sqrt{5}) + 3 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{2} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \cdot 1 (- \sqrt{5}) + 3 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{2} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 (- \sqrt{5}) + 3 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{2} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 1 {(- \sqrt{5})}^{2} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 3 {(- \sqrt{5})}^{2} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.6

对 $- \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 3 (1 {\sqrt{5}}^{2}) + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.8

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 3 {\sqrt{5}}^{2} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.9

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.17.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.17.9.4.1

约去公因数。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.9.4.2

重写表达式。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 5^{1} + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.9.5

计算指数。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 5 + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.10

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 15 + {(- \sqrt{5})}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.11

对 $- \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 15 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 15 - {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.13

将 ${\sqrt{5}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{5^{3}}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 15 - \sqrt{5^{3}})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.14

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 15 - \sqrt{125})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.15

将 $125$ 重写为 $5^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.17.15.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 15 - \sqrt{25 (5)})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.15.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 15 - \sqrt{5^{2} \cdot 5})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.16

从根式下提出各项。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 15 - (5 \sqrt{5}))}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.17.17

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 - 3 \sqrt{5} + 15 - 5 \sqrt{5})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.18

将 $1$ 和 $15$ 相加。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (16 - 3 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.19

从 $- 3 \sqrt{5}$ 中减去 $5 \sqrt{5}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (16 - 8 \sqrt{5})}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.20

约去 $16 - 8 \sqrt{5}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.20.1

从 $- (16 - 8 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{2 (- (8 - 4 \sqrt{5}))}{2} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.20.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.20.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{2 (- (8 - 4 \sqrt{5}))}{2 (1)} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.20.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{2 (- (8 - 4 \sqrt{5}))}{2 \cdot 1} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.20.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (8 - 4 \sqrt{5})}{1} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.20.2.4

用 $- (8 - 4 \sqrt{5})$ 除以 $1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - (8 - 4 \sqrt{5}) - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.21

运用分配律。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 1 \cdot 8 - (- 4 \sqrt{5}) - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.22

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - (- 4 \sqrt{5}) - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.23

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} - 6 {(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.24

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.2.1.24.1

对 $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.1.24.2

对 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.2.2.1.25

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} - 6 (1 \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.2.2.1.26

将 $\frac{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} - 6 \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.27

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} - 6 \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}{4}$

解题步骤 4.2.2.1.28

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.28.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + 2 (- 3) \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}{4}$

解题步骤 4.2.2.1.28.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + 2 \cdot - 3 \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2.1.28.3

约去公因数。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + 2 \cdot - 3 \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2.1.28.4

重写表达式。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} - 3 \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.29

组合 $- 3$ 和 $\frac{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 {(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.30

将 ${(1 - \sqrt{5})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 ((1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.31

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.31.1

运用分配律。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 (1 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.31.2

运用分配律。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.31.3

运用分配律。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.2.1.32.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.32.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.2

将 $- \sqrt{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.4

乘以 $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.32.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.4.2

将 $\sqrt{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.4.4

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.5

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.32.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.32.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{1})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.1.5.5

计算指数。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5)}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (6 - \sqrt{5} - \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.32.3

从 $- \sqrt{5}$ 中减去 $\sqrt{5}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (6 - 2 \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.33

约去 $6 - 2 \sqrt{5}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.33.1

从 $- 3 (6 - 2 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{2 (- 3 (3 - \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.33.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.33.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{2 (- 3 (3 - \sqrt{5}))}{2 (1)}$

解题步骤 4.2.2.1.33.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{2 (- 3 (3 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.2.1.33.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (3 - \sqrt{5})}{1}$

解题步骤 4.2.2.1.33.2.4

用 $- 3 (3 - \sqrt{5})$ 除以 $1$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} - 3 (3 - \sqrt{5})$

解题步骤 4.2.2.1.34

运用分配律。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} - 3 \cdot 3 - 3 (- \sqrt{5})$

解题步骤 4.2.2.1.35

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} - 9 - 3 (- \sqrt{5})$

解题步骤 4.2.2.1.36

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 + 4 \sqrt{5} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.2

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2} + 4 \sqrt{5} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.3

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2} + 4 \sqrt{5} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.3.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5}) - 8 \cdot 2}{2} + 4 \sqrt{5} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.3.2.2

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (7 - 3 \sqrt{5}) - 16}{2} + 4 \sqrt{5} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.4.1

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 7 + 3 (- 3 \sqrt{5}) - 16}{2} + 4 \sqrt{5} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.4.2

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{21 + 3 (- 3 \sqrt{5}) - 16}{2} + 4 \sqrt{5} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.4.3

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{21 - 9 \sqrt{5} - 16}{2} + 4 \sqrt{5} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.4.4

从 $21$ 中减去 $16$ 。

$\frac{5 - 9 \sqrt{5}}{2} + 4 \sqrt{5} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.5

要将 $4 \sqrt{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5 - 9 \sqrt{5}}{2} + 4 \sqrt{5} \cdot \frac{2}{2} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.6

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.6.1

组合 $4 \sqrt{5}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5 - 9 \sqrt{5}}{2} + \frac{4 \sqrt{5} \cdot 2}{2} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.6.2

在公分母上合并分子。

$\frac{5 - 9 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} \cdot 2}{2} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.7

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.7.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5 - 9 \sqrt{5} + 8 \sqrt{5}}{2} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.7.2

将 $- 9 \sqrt{5}$ 和 $8 \sqrt{5}$ 相加。

$\frac{5 - \sqrt{5}}{2} - 9 + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.8

要将 $- 9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5 - \sqrt{5}}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.9

组合 $- 9$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5 - \sqrt{5}}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.10

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.10.1

在公分母上合并分子。

$\frac{5 - \sqrt{5} - 9 \cdot 2}{2} + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.10.2

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 - \sqrt{5} - 18}{2} + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.10.3

从 $5$ 中减去 $18$ 。

$\frac{- 13 - \sqrt{5}}{2} + 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.2.11

要将 $3 \sqrt{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 13 - \sqrt{5}}{2} + 3 \sqrt{5} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.2.2.12

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.12.1

组合 $3 \sqrt{5}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 13 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 \sqrt{5} \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.2.2.12.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 13 - \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.2.2.13

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.13.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 13 - \sqrt{5} + 6 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4.2.2.13.2

将 $- \sqrt{5}$ 和 $6 \sqrt{5}$ 相加。

$\frac{- 13 + 5 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4.2.2.14

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.2.2.14.1

将 $- 13$ 重写为 $- 1 (13)$ 。

$\frac{- 1 (13) + 5 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4.2.2.14.2

从 $5 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (13) - (- 5 \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.2.2.14.3

从 $- 1 (13) - (- 5 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (13 - 5 \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.2.2.14.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{13 - 5 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4.3

在 $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 替换 $x$ 。

$3 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{4} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.3.2.1.1.1

对 $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{4}) + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.1.2

对 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$3 ({(- 1)}^{4} \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{4}}{2^{4}}) + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 (1 \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{4}}{2^{4}}) + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $\frac{{(1 + \sqrt{5})}^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.5

使用二项式定理。

$3 \frac{1^{4} + 4 \cdot 1^{3} \sqrt{5} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{5}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.6.1

一的任意次幂都为一。

$3 \frac{1 + 4 \cdot 1^{3} \sqrt{5} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{5}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.2

一的任意次幂都为一。

$3 \frac{1 + 4 \cdot 1 \sqrt{5} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{5}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{5}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.4

一的任意次幂都为一。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 6 {\sqrt{5}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 6 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.6.6.4.1

约去公因数。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.6.4.2

重写表达式。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 5^{1} + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.6.5

计算指数。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 6 \cdot 5 + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.7

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 4 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 4 {\sqrt{5}}^{3} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.9

将 ${\sqrt{5}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{5^{3}}$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 4 \sqrt{5^{3}} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.10

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 4 \sqrt{125} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.11

将 $125$ 重写为 $5^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.6.11.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 4 \sqrt{25 (5)} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.11.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 4 \sqrt{5^{2} \cdot 5} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.12

从根式下提出各项。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 4 (5 \sqrt{5}) + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.13

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 20 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.14

将 ${\sqrt{5}}^{4}$ 重写为 $5^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.6.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 20 \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{4}{2}}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.14.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.6.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.14.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.6.14.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.14.4.2.2

约去公因数。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.14.4.2.3

重写表达式。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 20 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{1}}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.14.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 20 \sqrt{5} + 5^{2}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.15

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \frac{1 + 4 \sqrt{5} + 30 + 20 \sqrt{5} + 25}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.7

将 $1$ 和 $30$ 相加。

$3 \frac{31 + 4 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + 25}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.8

将 $31$ 和 $25$ 相加。

$3 \frac{56 + 4 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.9

将 $4 \sqrt{5}$ 和 $20 \sqrt{5}$ 相加。

$3 \frac{56 + 24 \sqrt{5}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.10

约去 $56 + 24 \sqrt{5}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.10.1

从 $56$ 中分解出因数 $8$ 。

$3 \frac{8 (7) + 24 \sqrt{5}}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.10.2

从 $24 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $8$ 。

$3 \frac{8 (7) + 8 (3 \sqrt{5})}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.10.3

从 $8 (7) + 8 (3 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $8$ 。

$3 \frac{8 (7 + 3 \sqrt{5})}{16} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.10.4

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.10.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$3 \frac{8 (7 + 3 \sqrt{5})}{8 \cdot 2} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.10.4.2

约去公因数。

$3 \frac{8 (7 + 3 \sqrt{5})}{8 \cdot 2} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.10.4.3

重写表达式。

$3 \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.11

组合 $3$ 和 $\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + 4 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.12

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.3.2.1.12.1

对 $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3}) - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.12.2

对 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + 4 ({(- 1)}^{3} \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{3}}{2^{3}}) - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.13

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + 4 (- \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{3}}{2^{3}}) - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.14

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + 4 (- \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{3}}{8}) - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.15

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.15.1

将 $- \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{3}}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + 4 \frac{- {(1 + \sqrt{5})}^{3}}{8} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.15.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + 4 \frac{- {(1 + \sqrt{5})}^{3}}{4 (2)} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.15.3

约去公因数。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + 4 \frac{- {(1 + \sqrt{5})}^{3}}{4 \cdot 2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.15.4

重写表达式。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- {(1 + \sqrt{5})}^{3}}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.16

使用二项式定理。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{5} + 3 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{2} + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.17.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{5} + 3 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{2} + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \cdot 1 \sqrt{5} + 3 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{2} + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 1 {\sqrt{5}}^{2} + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 3 {\sqrt{5}}^{2} + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.5

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.17.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.17.5.4.1

约去公因数。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.5.4.2

重写表达式。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 5^{1} + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.5.5

计算指数。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 3 \cdot 5 + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.6

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 15 + {\sqrt{5}}^{3})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.7

将 ${\sqrt{5}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{5^{3}}$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 15 + \sqrt{5^{3}})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.8

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 15 + \sqrt{125})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.9

将 $125$ 重写为 $5^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.17.9.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 15 + \sqrt{25 (5)})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.9.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 15 + \sqrt{5^{2} \cdot 5})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.17.10

从根式下提出各项。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (1 + 3 \sqrt{5} + 15 + 5 \sqrt{5})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.18

将 $1$ 和 $15$ 相加。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (16 + 3 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.19

将 $3 \sqrt{5}$ 和 $5 \sqrt{5}$ 相加。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (16 + 8 \sqrt{5})}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.20

约去 $16 + 8 \sqrt{5}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.20.1

从 $- (16 + 8 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{2 (- (8 + 4 \sqrt{5}))}{2} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.20.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.20.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{2 (- (8 + 4 \sqrt{5}))}{2 (1)} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.20.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{2 (- (8 + 4 \sqrt{5}))}{2 \cdot 1} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.20.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- (8 + 4 \sqrt{5})}{1} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.20.2.4

用 $- (8 + 4 \sqrt{5})$ 除以 $1$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - (8 + 4 \sqrt{5}) - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.21

运用分配律。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 1 \cdot 8 - (4 \sqrt{5}) - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.22

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - (4 \sqrt{5}) - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.23

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} - 6 {(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.24

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.3.2.1.24.1

对 $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.1.24.2

对 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.3.2.1.25

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} - 6 (1 \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.3.2.1.26

将 $\frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} - 6 \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.27

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} - 6 \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}{4}$

解题步骤 4.3.2.1.28

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.28.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + 2 (- 3) \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}{4}$

解题步骤 4.3.2.1.28.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + 2 \cdot - 3 \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2.1.28.3

约去公因数。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + 2 \cdot - 3 \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2.1.28.4

重写表达式。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} - 3 \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.29

组合 $- 3$ 和 $\frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}{2}$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 {(1 + \sqrt{5})}^{2}}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.30

将 ${(1 + \sqrt{5})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 ((1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.31

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.31.1

运用分配律。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.31.2

运用分配律。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.31.3

运用分配律。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.32

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.2.1.32.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.32.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.32.1.2

将 $\sqrt{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.32.1.3

将 $\sqrt{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.32.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5})}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.32.1.5

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{25})}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.32.1.6

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}})}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.32.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 5)}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.32.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (6 + \sqrt{5} + \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.32.3

将 $\sqrt{5}$ 和 $\sqrt{5}$ 相加。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (6 + 2 \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.33

约去 $6 + 2 \sqrt{5}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.33.1

从 $- 3 (6 + 2 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{2 (- 3 (3 + \sqrt{5}))}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.33.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.33.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{2 (- 3 (3 + \sqrt{5}))}{2 (1)}$

解题步骤 4.3.2.1.33.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{2 (- 3 (3 + \sqrt{5}))}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2.1.33.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} + \frac{- 3 (3 + \sqrt{5})}{1}$

解题步骤 4.3.2.1.33.2.4

用 $- 3 (3 + \sqrt{5})$ 除以 $1$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} - 3 (3 + \sqrt{5})$

解题步骤 4.3.2.1.34

运用分配律。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} - 3 \cdot 3 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.1.35

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 - 4 \sqrt{5} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.2

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2} - 4 \sqrt{5} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.3

合并分数。

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解题步骤 4.3.2.3.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2} - 4 \sqrt{5} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.3.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5}) - 8 \cdot 2}{2} - 4 \sqrt{5} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.3.2.2

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5}) - 16}{2} - 4 \sqrt{5} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.4.1

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 7 + 3 (3 \sqrt{5}) - 16}{2} - 4 \sqrt{5} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.4.2

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{21 + 3 (3 \sqrt{5}) - 16}{2} - 4 \sqrt{5} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.4.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{21 + 9 \sqrt{5} - 16}{2} - 4 \sqrt{5} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.4.4

从 $21$ 中减去 $16$ 。

$\frac{5 + 9 \sqrt{5}}{2} - 4 \sqrt{5} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.5

要将 $- 4 \sqrt{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5 + 9 \sqrt{5}}{2} - 4 \sqrt{5} \cdot \frac{2}{2} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.6

合并分数。

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解题步骤 4.3.2.6.1

组合 $- 4 \sqrt{5}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5 + 9 \sqrt{5}}{2} + \frac{- 4 \sqrt{5} \cdot 2}{2} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.6.2

在公分母上合并分子。

$\frac{5 + 9 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} \cdot 2}{2} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.7

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.7.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{5 + 9 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5}}{2} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.7.2

从 $9 \sqrt{5}$ 中减去 $8 \sqrt{5}$ 。

$\frac{5 + \sqrt{5}}{2} - 9 - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.8

要将 $- 9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5 + \sqrt{5}}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.9

组合 $- 9$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5 + \sqrt{5}}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.10

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.10.1

在公分母上合并分子。

$\frac{5 + \sqrt{5} - 9 \cdot 2}{2} - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.10.2

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 + \sqrt{5} - 18}{2} - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.10.3

从 $5$ 中减去 $18$ 。

$\frac{- 13 + \sqrt{5}}{2} - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.2.11

要将 $- 3 \sqrt{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 13 + \sqrt{5}}{2} - 3 \sqrt{5} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.3.2.12

合并分数。

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解题步骤 4.3.2.12.1

组合 $- 3 \sqrt{5}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 13 + \sqrt{5}}{2} + \frac{- 3 \sqrt{5} \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.3.2.12.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 13 + \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.3.2.13

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.13.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 13 + \sqrt{5} - 6 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4.3.2.13.2

从 $\sqrt{5}$ 中减去 $6 \sqrt{5}$ 。

$\frac{- 13 - 5 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4.3.2.14

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.3.2.14.1

将 $- 13$ 重写为 $- 1 (13)$ 。

$\frac{- 1 (13) - 5 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4.3.2.14.2

从 $- 5 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (13) - (5 \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.3.2.14.3

从 $- 1 (13) - (5 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (13 + 5 \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 4.3.2.14.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{13 + 5 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(0, 0), (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{13 - 5 \sqrt{5}}{2}), (- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{13 + 5 \sqrt{5}}{2})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例