微积分学示例

$f (x) = - 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{\frac{4}{9}}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$ 。

$- 4 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{9}$ 。

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1})$

解题步骤 1.1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}})$

解题步骤 1.1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}})$

解题步骤 1.1.3.5

在公分母上合并分子。

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 1 \cdot 9}{9}})$

解题步骤 1.1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 9}{9}})$

解题步骤 1.1.3.6.2

从 $4$ 中减去 $9$ 。

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{- 5}{9}})$

解题步骤 1.1.3.7

将负号移到分数的前面。

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{- \frac{5}{9}})$

解题步骤 1.1.3.8

组合 $\frac{4}{9}$ 和 $x^{- \frac{5}{9}}$ 。

$- 4 + 9 \frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

解题步骤 1.1.3.9

组合 $9$ 和 $\frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$ 。

$- 4 + \frac{9 (4 x^{- \frac{5}{9}})}{9}$

解题步骤 1.1.3.10

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$- 4 + \frac{36 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

解题步骤 1.1.3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{9}}$ 移动到分母。

$- 4 + \frac{36}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

解题步骤 1.1.3.12

从 $36$ 中分解出因数 $9$ 。

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

解题步骤 1.1.3.13

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.13.1

从 $9 x^{\frac{5}{9}}$ 中分解出因数 $9$ 。

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 (x^{\frac{5}{9}})}$

解题步骤 1.1.3.13.2

约去公因数。

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

解题步骤 1.1.3.13.3

重写表达式。

$f' (x) = - 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ 。

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$

解题步骤 2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{\frac{5}{9}}, 1$

解题步骤 2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{\frac{5}{9}}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{5}{9}}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{5}{9}}$ 。

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = 4 x^{\frac{5}{9}}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $x^{\frac{5}{9}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = 4 x^{\frac{5}{9}}$

解题步骤 2.4.2.1.2

重写表达式。

$4 = 4 x^{\frac{5}{9}}$

解题步骤 2.5

求解方程。

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解题步骤 2.5.1

将方程重写为 $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ 。

$4 x^{\frac{5}{9}} = 4$

解题步骤 2.5.2

将 $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{\frac{5}{9}}}{4} = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{\frac{5}{9}}}{4} = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.5.2.2.2

用 $x^{\frac{5}{9}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{5}{9}} = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.3.1

用 $4$ 除以 $4$ 。

$x^{\frac{5}{9}} = 1$

解题步骤 2.5.3

将方程两边同时进行 $\frac{9}{5}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

解题步骤 2.5.4

化简指数。

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解题步骤 2.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.4.1.1

化简 ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1

将 ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

解题步骤 2.5.4.1.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

解题步骤 2.5.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

解题步骤 2.5.4.1.1.1.3

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1.3.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

解题步骤 2.5.4.1.1.1.3.2

重写表达式。

$x^{1} = 1^{\frac{9}{5}}$

解题步骤 2.5.4.1.1.2

化简。

$x = 1^{\frac{9}{5}}$

解题步骤 2.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.4.2.1

一的任意次幂都为一。

$x = 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- 4 + \frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[9]{x^{5}} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $9$ 次幂。

${\sqrt[9]{x^{5}}}^{9} = 0^{9}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[9]{x^{5}}$ 重写成 $x^{\frac{5}{9}}$ 。

${(x^{\frac{5}{9}})}^{9} = 0^{9}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 ${(x^{\frac{5}{9}})}^{9}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$x^{5} = 0^{9}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{5} = 0$

解题步骤 3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[5]{0}$

解题步骤 3.3.3.2

化简 $\sqrt[5]{0}$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

解题步骤 3.3.3.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $- 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$- 4 \cdot 1 + 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 + 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$- 4 + 9 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$- 4 + 9$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 4$ 和 $9$ 相加。

$5$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$- 4 \cdot 0 + 9 {(0)}^{\frac{4}{9}}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$0 + 9 {(0)}^{\frac{4}{9}}$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{9}$ 。

$0 + 9 {(0^{9})}^{\frac{4}{9}}$

解题步骤 4.2.2.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + 9 \cdot 0^{9 (\frac{4}{9})}$

解题步骤 4.2.2.1.4

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.4.1

约去公因数。

$0 + 9 \cdot 0^{9 (\frac{4}{9})}$

解题步骤 4.2.2.1.4.2

重写表达式。

$0 + 9 \cdot 0^{4}$

解题步骤 4.2.2.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 9 \cdot 0$

解题步骤 4.2.2.1.6

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(1, 5), (0, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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