微积分学示例

$f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $4 x + \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$4 - x^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.5

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} = - 4$

解题步骤 2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{2}, 1$

解题步骤 2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 2.4

将 $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - 4 x^{2}$

解题步骤 2.5

求解方程。

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解题步骤 2.5.1

将方程重写为 $- 4 x^{2} = - 1$ 。

$- 4 x^{2} = - 1$

解题步骤 2.5.2

将 $- 4 x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $- 4 x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 2.5.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x^{2} = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 2.5.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.5.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.5.4.3

化简分母。

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解题步骤 2.5.4.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.5.4.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $4 x + \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{1}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{1}{2}$ 替换 $x$ 。

$4 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.1.2

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.1.3

重写表达式。

$2 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$2 + 1 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2$

解题步骤 4.1.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4$

解题步骤 4.2

在 $x = - \frac{1}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- \frac{1}{2}$ 替换 $x$ 。

$4 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$4 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.1.3

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.1.4

重写表达式。

$2 \cdot - 1 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- 2 + \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

将负号移到分数的前面。

$- 2 - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$- 2 - (1 \cdot 2)$

解题步骤 4.2.2.1.5

乘以 $- (1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.5.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 - 2$

解题步骤 4.2.2.2

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$- 4$

解题步骤 4.3

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$4 (0) + \frac{1}{0}$

解题步骤 4.3.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(\frac{1}{2}, 4), (- \frac{1}{2}, - 4)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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