微积分学示例

$s = 5 t^{4} - 4 t^{5}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (5 t^{4} - 4 t^{5})$

解题步骤 2

$s$ 对 $t$ 的导数为 $s'$ 。

$s'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $5 t^{4} - 4 t^{5}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 4 t^{5}]$ 。

$\frac{d}{d t} [5 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 4 t^{5}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d t} [5 t^{4}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 t^{4}$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ 。

$5 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 4 t^{5}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$5 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 4 t^{5}]$

解题步骤 3.2.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 4 t^{5}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d t} [- 4 t^{5}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 4 t^{5}$ 对 $t$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ 。

$20 t^{3} - 4 \frac{d}{d t} [t^{5}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$20 t^{3} - 4 (5 t^{4})$

解题步骤 3.3.3

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$20 t^{3} - 20 t^{4}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$- 20 t^{4} + 20 t^{3}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$s' = - 20 t^{4} + 20 t^{3}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d s}{d t}$ 替换 $s'$ 。

$\frac{d s}{d t} = - 20 t^{4} + 20 t^{3}$

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