微积分学示例

$f (x) = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.5

在公分母上合并分子。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{- 4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.9

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.10

从 $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.11

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.11.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.11.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.11.3

重写表达式。

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.2.11.4

用 $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [24 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + \frac{d}{d x} [13]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $13$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ 。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $24$ 。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} = - 24$

解题步骤 2.3

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

解题步骤 2.4

化简指数。

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解题步骤 2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.1.1

化简 ${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.1.1.1

对 $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 6)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

解题步骤 2.4.1.1.2

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

解题步骤 2.4.1.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

解题步骤 2.4.1.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.1.3.2.1

约去公因数。

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

解题步骤 2.4.1.1.3.2.2

重写表达式。

$36 x^{1} = {(- 24)}^{2}$

解题步骤 2.4.1.1.4

化简。

$36 x = {(- 24)}^{2}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

对 $- 24$ 进行 $2$ 次方运算。

$36 x = 576$

解题步骤 2.5

将 $36 x = 576$ 中的每一项除以 $36$ 并化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $36 x = 576$ 中的每一项都除以 $36$ 。

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

约去 $36$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

解题步骤 2.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{576}{36}$

解题步骤 2.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.3.1

用 $576$ 除以 $36$ 。

$x = 16$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- 6 \sqrt{x^{1}} + 24$

解题步骤 3.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- 6 \sqrt{x} + 24$

解题步骤 3.2

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 3.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 16$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $16$ 替换 $x$ 。

$- 4 {(16)}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- 4 {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

解题步骤 4.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

解题步骤 4.1.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.3.1

约去公因数。

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

解题步骤 4.1.2.1.3.2

重写表达式。

$- 4 \cdot 4^{3} + 24 (16) + 13$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 4 \cdot 64 + 24 (16) + 13$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $- 4$ 乘以 $64$ 。

$- 256 + 24 (16) + 13$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $24$ 乘以 $16$ 。

$- 256 + 384 + 13$

解题步骤 4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $- 256$ 和 $384$ 相加。

$128 + 13$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $128$ 和 $13$ 相加。

$141$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(16, 141)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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