微积分学示例

$\ln (y + e^{2 x}) = x^{2} - 4$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\ln (y + e^{2 x})) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = y + e^{2 x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y + e^{2 x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $y + e^{2 x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $y + e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.5.3

化简表达式。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \cdot 2)$

解题步骤 2.5.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 \cdot e^{2 x})$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

重新排序 $\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 e^{2 x})$ 的因式。

$(y' + 2 e^{2 x}) \frac{1}{y + e^{2 x}}$

解题步骤 2.6.2

将 $y' + 2 e^{2 x}$ 乘以 $\frac{1}{y + e^{2 x}}$ 。

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 3.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} = 2 x$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

两边同时乘以 $y + e^{2 x}$ 。

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

约去 $y + e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

解题步骤 5.2.1.1.2

重写表达式。

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x (y + e^{2 x})$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

运用分配律。

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x y + 2 x e^{2 x}$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $2 e^{2 x}$ 。

$y' = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$

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