微积分学示例

$f (x) = 2 - 5 x + x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $2 - 5 x + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$0 - 5 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 5 + 2 x$

解题步骤 1.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$- 5 + 2 x$

解题步骤 1.1.4.2

重新排序项。

$f' (x) = 2 x - 5$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - 5$ 。

$2 x - 5$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - 5 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - 5 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$2 x = 5$

解题步骤 2.3

将 $2 x = 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $2 x = 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{5}{2}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $2 - 5 x + x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = \frac{5}{2}$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{5}{2}$ 替换 $x$ 。

$2 - 5 (\frac{5}{2}) + {(\frac{5}{2})}^{2}$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

乘以 $- 5 (\frac{5}{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$2 + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.1.2

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$2 + \frac{- 25}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$2 - \frac{25}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$2 - \frac{25}{2} + \frac{5^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 - \frac{25}{2} + \frac{25}{2^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 - \frac{25}{2} + \frac{25}{4}$

解题步骤 4.1.2.2

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{2}{1} - \frac{25}{2} + \frac{25}{4}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{2} + \frac{25}{4}$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{25}{2} + \frac{25}{4}$

解题步骤 4.1.2.2.4

将 $\frac{25}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{25}{4}$

解题步骤 4.1.2.2.5

将 $\frac{25}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4}$

解题步骤 4.1.2.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{25}{4}$

解题步骤 4.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \cdot 4 - 25 \cdot 2 + 25}{4}$

解题步骤 4.1.2.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.4.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 - 25 \cdot 2 + 25}{4}$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $- 25$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 - 50 + 25}{4}$

解题步骤 4.1.2.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.5.1

从 $8$ 中减去 $50$ 。

$\frac{- 42 + 25}{4}$

解题步骤 4.1.2.5.2

将 $- 42$ 和 $25$ 相加。

$\frac{- 17}{4}$

解题步骤 4.1.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{17}{4}$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(\frac{5}{2}, - \frac{17}{4})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例