微积分学示例

$f (x) = \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y - 3$ 且 $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ 。

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} (y - 3) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $y - 3$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ 。

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $y^{2} - 3 y + 9$ 乘以 $1$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $y^{2} - 3 y + 9$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $- 3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 3 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.10

因为 $9$ 对于 $y$ 是常数，所以 $9$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.11

将 $2 y - 3$ 和 $0$ 相加。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- y + 3) (2 y - 3)$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1.2.1

运用分配律。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.2

运用分配律。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.3

运用分配律。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.6

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.2

将 $3 y$ 和 $6 y$ 相加。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.2

合并 $y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2

将 $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ 和 $0$ 相加。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.3

从 $y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.4

将 $- 3 y$ 和 $9 y$ 相加。

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

从 $- y^{2} + 6 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.1.3.3.1

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$f' (y) = \frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $6 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.3

从 $y (- y) + y \cdot 6$ 中分解出因数 $y$ 。

$f' (y) = \frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

从 $- (y) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (y) = \frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7

将 $- (y - 6)$ 重写为 $- 1 (y - 6)$ 。

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.8

将负号移到分数的前面。

$f' (y) = - \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$ 。

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$y (y - 6) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

化简 $y (y - 6)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

运用分配律。

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

解题步骤 2.3.1.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y^{2} + y \cdot - 6 = 0$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $- 6$ 移到 $y$ 的左侧。

$y^{2} - 6 y = 0$

解题步骤 2.3.2

从 $y^{2} - 6 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot y - 6 y = 0$

解题步骤 2.3.2.2

从 $- 6 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

解题步骤 2.3.2.3

从 $y \cdot y + y \cdot - 6$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (y - 6) = 0$

解题步骤 2.3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y = 0$

$y - 6 = 0$

解题步骤 2.3.4

将 $y$ 设为等于 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 2.3.5

将 $y - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $y - 6$ 设为等于 $0$ 。

$y - 6 = 0$

解题步骤 2.3.5.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$y = 6$

解题步骤 2.3.6

最终解为使 $y (y - 6) = 0$ 成立的所有值。

$y = 0, 6$

解题步骤 3

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ 。

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解题步骤 3.1

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ is constant with respect to $x$ .

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

解题步骤 3.2

列出所有的点。

$(0, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}), (6, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9})$

解题步骤 4

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