微积分学示例

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 2$ 且 $g (x) = x^{2} - 3 x - 10$ 。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $x^{2} - 3 x - 10$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $x^{2} - 3 x - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.10

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.11

将 $2 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 2) (2 x - 3)$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.2

从 $3 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} - 3 x - 10 - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.3

从 $- 3 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{- x^{2} - 4 x - 10 + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.4

将 $- 10$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.3.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ 并且它们的和为 $b = - 4$ 。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$\frac{- x^{2} - 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

把 $- 4$ 重写为 $- 2$ 加 $- 2$

$\frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.3.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

化简分母。

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解题步骤 1.1.3.4.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x - 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.3.4.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 10$ ，和为 $- 3$ 。

$- 5, 2$

解题步骤 1.1.3.4.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 5) (x + 2))}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.2

对 $(x - 5) (x + 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.5.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.3

从 $- (x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.4

将 $- (x + 2)$ 重写为 $- 1 (x + 2)$ 。

$\frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.5

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.6

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

约去 ${(x + 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.1

约去公因数。

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6.2

重写表达式。

$\frac{- 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ 。

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 5$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $5$ 替换 $x$ 。

$\frac{(5) + 2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 - 10}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(5) + 2}{25 - 3 \cdot 5 - 10}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{(5) + 2}{25 - 15 - 10}$

解题步骤 4.1.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $25$ 中减去 $15$ 。

$\frac{(5) + 2}{10 - 10}$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $10$ 中减去 $10$ 。

$\frac{(5) + 2}{0}$

解题步骤 4.1.2.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{(5) + 2}{0}$

解题步骤 4.1.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 5

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

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