微积分学示例

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ 。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$

解题步骤 2.2

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$5 u^{2} - 15 u - 20 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.3.1

从 $5 u^{2} - 15 u - 20$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $5 u^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (u^{2}) - 15 u - 20 = 0$

解题步骤 2.3.1.2

从 $- 15 u$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (u^{2}) + 5 (- 3 u) - 20 = 0$

解题步骤 2.3.1.3

从 $- 20$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 u^{2} + 5 (- 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

解题步骤 2.3.1.4

从 $5 u^{2} + 5 (- 3 u)$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

解题步骤 2.3.1.5

从 $5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

解题步骤 2.3.2

因数。

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解题步骤 2.3.2.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - 3 u - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.3.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $- 3$ 。

$- 4, 1$

解题步骤 2.3.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$5 ((u - 4) (u + 1)) = 0$

解题步骤 2.3.2.2

去掉多余的括号。

$5 (u - 4) (u + 1) = 0$

解题步骤 2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 2.5

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$u = 4$

解题步骤 2.6

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 2.7

最终解为使 $5 (u - 4) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 4, - 1$

解题步骤 2.8

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

解题步骤 2.9

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = 4$

解题步骤 2.10

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.10.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 2.10.2

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 2.10.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 2.10.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 2.10.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.10.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 2.10.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 2.10.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 2.11

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = - 1$

解题步骤 2.12

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.12.1

去掉圆括号。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 2.12.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 2.12.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 2.12.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.12.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 2.12.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 2.12.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 2.13

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ 的解是 $x = 2, - 2, i, - i$ 。

$x = 2, - 2, i, - i$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{5} - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$32 - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$32 - 5 \cdot 8 - 20 \cdot 2 - 2$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$32 - 40 - 20 \cdot 2 - 2$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 20$ 乘以 $2$ 。

$32 - 40 - 40 - 2$

解题步骤 4.1.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $32$ 中减去 $40$ 。

$- 8 - 40 - 2$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $- 8$ 中减去 $40$ 。

$- 48 - 2$

解题步骤 4.1.2.2.3

从 $- 48$ 中减去 $2$ 。

$- 50$

解题步骤 4.2

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

${(- 2)}^{5} - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $5$ 次方运算。

$- 32 - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 32 - 5 \cdot - 8 - 20 \cdot - 2 - 2$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $- 5$ 乘以 $- 8$ 。

$- 32 + 40 - 20 \cdot - 2 - 2$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 20$ 乘以 $- 2$ 。

$- 32 + 40 + 40 - 2$

解题步骤 4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $- 32$ 和 $40$ 相加。

$8 + 40 - 2$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $8$ 和 $40$ 相加。

$48 - 2$

解题步骤 4.2.2.2.3

从 $48$ 中减去 $2$ 。

$46$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(2, - 50), (- 2, 46)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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