微积分学示例

$f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ 写为等式。

$y = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{6}{5} \cdot \cos (y)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{6}{5} \cdot \cos (y) = x$ 。

$\frac{6}{5} \cdot \cos (y) = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $\frac{5}{6}$ 。

$\frac{5}{6} (\frac{6}{5} \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 $\frac{5}{6} (\frac{6}{5} \cos (y))$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

组合 $\frac{6}{5}$ 和 $\cos (y)$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{6 \cos (y)}{5} = \frac{5}{6} x$

解题步骤 3.3.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{6 \cos (y)}{5} = \frac{5}{6} x$

解题步骤 3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

解题步骤 3.3.1.1.3

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.3.1

从 $6 \cos (y)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

解题步骤 3.3.1.1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

解题步骤 3.3.1.1.3.3

重写表达式。

$\cos (y) = \frac{5}{6} x$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

组合 $\frac{5}{6}$ 和 $x$ 。

$\cos (y) = \frac{5 x}{6}$

解题步骤 3.4

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$y = \arccos (\frac{5 x}{6})$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$ 是否为 $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x))$ 。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{5 (\frac{6}{5} \cdot \cos (x))}{6})$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

组合 $5$ 和 $\frac{6}{5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 \cdot 6}{5} \cdot \cos (x)}{6})$

解题步骤 5.2.3.2

组合 $\frac{5 \cdot 6}{5}$ 和 $\cos (x)$ 。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 \cdot (6 \cos (x))}{5}}{6})$

解题步骤 5.2.4

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{30 \cos (x)}{5}}{6})$

解题步骤 5.2.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.5.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{30 \cos (x)}{5}$ 。

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解题步骤 5.2.5.1.1

从 $30 \cos (x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5}}{6})$

解题步骤 5.2.5.1.2

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5 (1)}}{6})$

解题步骤 5.2.5.1.3

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5 \cdot 1}}{6})$

解题步骤 5.2.5.1.4

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{6 \cos (x)}{1}}{6})$

解题步骤 5.2.5.2

用 $6 \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{6 \cos (x)}{6})$

解题步骤 5.2.6

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{6 \cos (x)}{6})$

解题步骤 5.2.6.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\arccos (\frac{5 x}{6}))$ 。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \cos (\arccos (\frac{5 x}{6}))$

解题步骤 5.3.3

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \frac{5 x}{6}$

解题步骤 5.3.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \frac{5 x}{6}$

解题步骤 5.3.4.2

重写表达式。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

解题步骤 5.3.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

解题步骤 5.3.5.2

约去公因数。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

解题步骤 5.3.5.3

重写表达式。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$ 为 $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$

微积分学 示例

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