微积分学示例

$\cos (x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \cos (y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\cos (y) = x$ 。

$\cos (y) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$y = \arccos (x)$

解题步骤 2.3

去掉圆括号。

$y = \arccos (x)$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arccos (x)$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \arccos (x)$ 是否为 $f (x) = \cos (x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\cos (x))$ 。

$f^{- 1} (\cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\arccos (x))$ 。

$f (\arccos (x)) = \cos (\arccos (x))$

解题步骤 4.3.3

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f (\arccos (x)) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \arccos (x)$ 为 $f (x) = \cos (x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \arccos (x)$

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