微积分学示例

$\sum_{x = 1}^{8} 15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{x}$ 和 $a_{x + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

解题步骤 2.2.2

约去 ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ 和 ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ 中分解出因数 ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ 。

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.4

用 ${(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$

解题步骤 2.2.3

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - (x - 1)}$

解题步骤 2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x - - 1}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x + 1}$

解题步骤 2.2.5

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{0 + 1}$

解题步骤 2.2.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{1}$

解题步骤 2.2.7

化简。

$r = - \frac{5}{7}$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ 以替换 $x$ 。

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{1 - 1}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{0}$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $- \frac{5}{7}$ 运用乘积法则。

$a = 15 ({(- 1)}^{0} {(\frac{5}{7})}^{0})$

解题步骤 3.2.2.2

对 $\frac{5}{7}$ 运用乘积法则。

$a = 15 ({(- 1)}^{0} \frac{5^{0}}{7^{0}})$

解题步骤 3.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 15 (1 \frac{5^{0}}{7^{0}})$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{5^{0}}{7^{0}}$ 乘以 $1$ 。

$a = 15 \frac{5^{0}}{7^{0}}$

解题步骤 3.2.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 15 \frac{1}{7^{0}}$

解题步骤 3.2.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 15 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.7

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.1

约去公因数。

$a = 15 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.7.2

重写表达式。

$a = 15 \cdot 1$

解题步骤 3.2.8

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$a = 15$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$15 \frac{1 - {(- \frac{5}{7})}^{8}}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.1.1.1

对 $- \frac{5}{7}$ 运用乘积法则。

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{5}{7})}^{8})}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.1.1.2

对 $\frac{5}{7}$ 运用乘积法则。

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{5^{8}}{7^{8}})}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{8}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{8}$ 。

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.1.2.2

将 ${(- 1)}^{8}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 5.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.1.2.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.1.3

对 $- 1$ 进行 $9$ 次方运算。

$15 \frac{1 - \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.1.4

对 $5$ 进行 $8$ 次方运算。

$15 \frac{1 - \frac{390625}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.1.5

对 $7$ 进行 $8$ 次方运算。

$15 \frac{1 - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.1.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$15 \frac{\frac{5764801}{5764801} - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.1.7

在公分母上合并分子。

$15 \frac{\frac{5764801 - 390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.1.8

从 $5764801$ 中减去 $390625$ 。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

乘以 $- - \frac{5}{7}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + 1 (\frac{5}{7})}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $\frac{5}{7}$ 乘以 $1$ 。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7}{7} + \frac{5}{7}}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7 + 5}{7}}$

解题步骤 5.2.4

将 $7$ 和 $5$ 相加。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{12}{7}}$

解题步骤 5.3

将分子乘以分母的倒数。

$15 (\frac{5374176}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

解题步骤 5.4

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $5374176$ 中分解出因数 $12$ 。

$15 (\frac{12 (447848)}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

$15 (\frac{12 \cdot 447848}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

$15 (\frac{447848}{5764801} \cdot 7)$

解题步骤 5.5

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从 $5764801$ 中分解出因数 $7$ 。

$15 (\frac{447848}{7 (823543)} \cdot 7)$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

$15 (\frac{447848}{7 \cdot 823543} \cdot 7)$

解题步骤 5.5.3

重写表达式。

$15 (\frac{447848}{823543})$

解题步骤 5.6

乘以 $15 (\frac{447848}{823543})$ 。

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解题步骤 5.6.1

组合 $15$ 和 $\frac{447848}{823543}$ 。

$\frac{15 \cdot 447848}{823543}$

解题步骤 5.6.2

将 $15$ 乘以 $447848$ 。

$\frac{6717720}{823543}$

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