微积分学示例

$\sin (3 x) = \cos (2 x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\cos (2 x)$ 。

$\sin (3 x) - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

使用正弦三倍角公式。

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 2.2

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 3

对 $- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

重新排序项。

$- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.2

使用有理根检验法因式分解 $- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 3.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

解题步骤 3.2.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$- 4 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

解题步骤 3.2.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 4 \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

解题步骤 3.2.3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

解题步骤 3.2.3.4

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

解题步骤 3.2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 4 + 2 + 3 \cdot 1 - 1$

解题步骤 3.2.3.6

将 $- 4$ 和 $2$ 相加。

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

解题步骤 3.2.3.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + 3 - 1$

解题步骤 3.2.3.8

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$1 - 1$

解题步骤 3.2.3.9

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

解题步骤 3.2.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $\sin (x) - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1}{\sin (x) - 1}$

解题步骤 3.2.5

用 $- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1$ 除以 $\sin (x) - 1$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$\sin (x)$

$1$

$4 \sin^{3} (x)$

$2 \sin^{2} (x)$

$3 \sin (x)$

$1$

解题步骤 3.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $- 4 \sin^{3} (x)$ 除以除数中的最高阶项 $\sin (x)$ 。

				-	$4 \sin^{2} (x)$
	$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$

解题步骤 3.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$4 \sin^{2} (x)$

解题步骤 3.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin^{2} (x)$ 中的所有符号

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$

解题步骤 3.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$

解题步骤 3.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$

解题步骤 3.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 \sin^{2} (x)$ 除以除数中的最高阶项 $\sin (x)$ 。

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$

解题步骤 3.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$2 \sin (x)$

解题步骤 3.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ 中的所有符号

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$

解题步骤 3.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$

解题步骤 3.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$

解题步骤 3.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $\sin (x)$ 除以除数中的最高阶项 $\sin (x)$ 。

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$

解题步骤 3.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$
							+	$\sin (x)$	-	$1$

解题步骤 3.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $\sin (x) - 1$ 中的所有符号

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$
							-	$\sin (x)$	+	$1$

解题步骤 3.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$
							-	$\sin (x)$	+	$1$
										$0$

解题步骤 3.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$

解题步骤 3.2.6

将 $- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1$ 书写为因数的集合。

$(\sin (x) - 1) (- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) - 1 = 0$

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 5

将 $\sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\sin (x) = 1$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.5

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 5.2.5.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.6

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 1 = 0$

解题步骤 6.2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.2.3

将 $a = - 4$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 6.2.4

化简。

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解题步骤 6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 4 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 1}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 6.2.4.1.2.2

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 6.2.4.1.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 6.2.4.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 6.2.4.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 6.2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 6.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{- 8}$

解题步骤 6.2.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{- 8}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 4}$

解题步骤 6.2.4.4

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 6.2.5

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 6.2.6

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 6.2.7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 6.2.8

在 $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

解题步骤 6.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.8.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ 。

$x = - \frac{3 π}{10}$

解题步骤 6.2.8.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

解题步骤 6.2.8.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.2.8.4.1

从 $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

解题步骤 6.2.8.4.2

得出的角 $\frac{13 π}{10}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ 共边。

$x = \frac{13 π}{10}$

解题步骤 6.2.8.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.8.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.2.8.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{3 π}{10}$ 以求正角。

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

解题步骤 6.2.8.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

解题步骤 6.2.8.6.3

合并分数。

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解题步骤 6.2.8.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

解题步骤 6.2.8.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

解题步骤 6.2.8.6.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.8.6.4.1

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

解题步骤 6.2.8.6.4.2

从 $20 π$ 中减去 $3 π$ 。

$\frac{17 π}{10}$

解题步骤 6.2.8.6.5

列出新角。

$x = \frac{17 π}{10}$

解题步骤 6.2.8.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.2.9

在 $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

解题步骤 6.2.9.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.9.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ 。

$x = \frac{π}{10}$

解题步骤 6.2.9.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

解题步骤 6.2.9.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.2.9.4.1

从 $2 π - \frac{π}{10} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

解题步骤 6.2.9.4.2

得出的角 $\frac{9 π}{10}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π - \frac{π}{10} + π$ 共边。

$x = \frac{9 π}{10}$

解题步骤 6.2.9.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.9.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.9.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.2.10

列出所有解。

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $(\sin (x) - 1) (- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并答案。

$x = \frac{π}{10} + \frac{2 π n}{5}$ ，对于任意整数 $n$

微积分学 示例

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