微积分学示例

$f (x) = 2 x^{4} + 8 x^{3}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $2 x^{4} + 8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + 24 x^{2}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $8 x^{3} + 24 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 24 (2 x)$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 48 x$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $24 x^{2} + 48 x$ 。

$24 x^{2} + 48 x$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $24 x^{2} + 48 x = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$24 x^{2} + 48 x = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $24 x^{2} + 48 x$ 中分解出因数 $24 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

从 $24 x^{2}$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$24 x (x) + 48 x = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $48 x$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$24 x (x) + 24 x (2) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $24 x (x) + 24 x (2)$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$24 x (x + 2) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $24 x (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = 24 {(- 4)}^{2} + 48 (- 4)$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = 24 \cdot 16 + 48 (- 4)$

解题步骤 4.2.1.2

将 $24$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- 4) = 384 + 48 (- 4)$

解题步骤 4.2.1.3

将 $48$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = 384 - 192$

解题步骤 4.2.2

从 $384$ 中减去 $192$ 。

$f'' (- 4) = 192$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $192$ 。

$192$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 2)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 2)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(- 2, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1) = 24 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1) = 24 \cdot 1 + 48 (- 1)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- 1) = 24 + 48 (- 1)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $48$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- 1) = 24 - 48$

解题步骤 5.2.2

从 $24$ 中减去 $48$ 。

$f'' (- 1) = - 24$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 24$ 。

$- 24$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 2, 0)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 1)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 2, 0)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = 24 {(2)}^{2} + 48 (2)$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = 24 \cdot 4 + 48 (2)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $24$ 乘以 $4$ 。

$f'' (2) = 96 + 48 (2)$

解题步骤 6.2.1.3

将 $48$ 乘以 $2$ 。

$f'' (2) = 96 + 96$

解题步骤 6.2.2

将 $96$ 和 $96$ 相加。

$f'' (2) = 192$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $192$ 。

$192$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(0, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 2)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 2, 0)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例