微积分学示例

$y = 4 x^{3} - 3 x$ , $(1, 1)$

解题步骤 1

求函数的导数。要求与线相切的方程的斜率，请对所需值 $x$ 求导数。

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3 x)$

解题步骤 2

根据加法法则， $4 x^{3} - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} - 3 \cdot 1$

解题步骤 4.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{2} - 3$

解题步骤 5

$y$ 的方程的导数也可以表示为 $f' (x)$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 3$

解题步骤 6

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 3$

解题步骤 7

化简每一项。

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解题步骤 7.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 3$

解题步骤 7.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 12 - 3$

解题步骤 8

从 $12$ 中减去 $3$ 。

$f' (1) = 9$

解题步骤 9

点 $(1, 1)$ 处的导数为 $9$ 。

$9$

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