微积分学示例

$f (x) = 4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ , $(4, 140)$

解题步骤 1

求函数的导数。要求与线相切的方程的斜率，请对所需值 $x$ 求导数。

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 7 x^{2} - 4)$

解题步骤 2

根据加法法则， $4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$12 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 5

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{2} - 14 x + 0$

解题步骤 5.2

将 $12 x^{2} - 14 x$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{2} - 14 x$

解题步骤 6

$y$ 的方程的导数也可以表示为 $f' (x)$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 14 x$

解题步骤 7

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 12 {(4)}^{2} - 14 \cdot 4$

解题步骤 8

化简每一项。

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解题步骤 8.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = 12 \cdot 16 - 14 \cdot 4$

解题步骤 8.2

将 $12$ 乘以 $16$ 。

$f' (4) = 192 - 14 \cdot 4$

解题步骤 8.3

将 $- 14$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = 192 - 56$

解题步骤 9

从 $192$ 中减去 $56$ 。

$f' (4) = 136$

解题步骤 10

点 $(4, 140)$ 处的导数为 $136$ 。

$136$

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