微积分学示例

$f (x) = \frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}$

解题步骤 1

将 $\frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$5 \cos (\frac{x}{2}) + 1 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$

解题步骤 2.2

将 $5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $\cos (\frac{x}{2})$ 除以 $1$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{5}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{5}$

解题步骤 2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arccos (- \frac{1}{5})$

解题步骤 2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.1

计算 $\arccos (- \frac{1}{5})$ 。

$\frac{x}{2} = 1.77215424$

解题步骤 2.5

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424$

解题步骤 2.6

化简方程的两边。

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解题步骤 2.6.1

化简左边。

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解题步骤 2.6.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424$

解题步骤 2.6.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \cdot 1.77215424$

解题步骤 2.6.2

化简右边。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $2$ 乘以 $1.77215424$ 。

$x = 3.54430849$

解题步骤 2.7

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$\frac{x}{2} = 2 (3.14159265) - 1.77215424$

解题步骤 2.8

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.8.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

解题步骤 2.8.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.8.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.8.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

解题步骤 2.8.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

解题步骤 2.8.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.8.2.2.1

化简 $2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$ 。

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解题步骤 2.8.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 2 (6.2831853 - 1.77215424)$

解题步骤 2.8.2.2.1.2

从 $6.2831853$ 中减去 $1.77215424$ 。

$x = 2 \cdot 4.51103105$

解题步骤 2.8.2.2.1.3

将 $2$ 乘以 $4.51103105$ 。

$x = 9.02206211$

解题步骤 2.9

求 $\cos (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 2.9.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.9.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 2.9.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.9.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 2.9.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 2.10

$\cos (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3.54430849 + 4 π n, 9.02206211 + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${x | x = 3.54430849 + 4 π n, x = 9.02206211 + 4 π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 4

微积分学 示例

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