微积分学示例

$f (x) = \tan (2 x)$ , $x = \frac{π}{6}$

解题步骤 1

求 $x = \frac{π}{6}$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $\frac{π}{6}$ 替换 $x$ 。

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $2$ 乘以 $\frac{π}{6}$ 。

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 1.2.2

化简 $\tan (2 (\frac{π}{6}))$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \tan (2 \frac{π}{2 (3)})$

解题步骤 1.2.2.1.2

约去公因数。

$y = \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 1.2.2.1.3

重写表达式。

$y = \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.2.2.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{6}$ 和 $y = \sqrt{3}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

解题步骤 2.2.3.2

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (2 x)$ 的左侧。

$2 \sec^{2} (2 x)$

解题步骤 2.3

计算在 $x = \frac{π}{6}$ 处的导数。

$2 \sec^{2} (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 (3)})$

解题步骤 2.4.1.2

约去公因数。

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 2.4.1.3

重写表达式。

$2 \sec^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.4.2

$\sec (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $2$ 。

$2 \cdot 2^{2}$

解题步骤 2.4.3

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$2^{1} \cdot 2^{2}$

解题步骤 2.4.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{1 + 2}$

解题步骤 2.4.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2^{3}$

解题步骤 2.4.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $8$ 和给定点 $(\frac{π}{6}, \sqrt{3})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\sqrt{3}) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $8 \cdot (x - \frac{π}{6})$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 (- \frac{π}{6})$

解题步骤 3.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.4.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 \frac{- π}{6}$

解题步骤 3.3.1.4.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{6}$

解题步骤 3.3.1.4.3

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.1.4.4

约去公因数。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.1.4.5

重写表达式。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 4 \frac{- π}{3}$

解题步骤 3.3.1.5

组合 $4$ 和 $\frac{- π}{3}$ 。

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{4 (- π)}{3}$

解题步骤 3.3.1.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{- 4 π}{3}$

解题步骤 3.3.1.6.2

将负号移到分数的前面。

$y - \sqrt{3} = 8 x - \frac{4 π}{3}$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $\sqrt{3}$ 。

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 3.3.3.1

要将 $\sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.3.3.2

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = 8 x + \frac{- 4 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.3.3.4

将 $3$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$y = 8 x + \frac{- 4 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.3.5

从 $- 4 π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 8 x + \frac{- (4 π) + 3 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.3.6

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 8 x + \frac{- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 3.3.3.7

从 $- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 8 x + \frac{- (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 3.3.3.8

将 $- (4 π - 3 \sqrt{3})$ 重写为 $- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})$ 。

$y = 8 x + \frac{- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 3.3.3.9

将负号移到分数的前面。

$y = 8 x - \frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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