微积分学示例

$f (x) = x - \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 1$

解题步骤 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 1 - \frac{1}{1^{2}}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

化简 $(1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$y = 1 - \frac{1}{1}$

解题步骤 1.2.3.1.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1.2.1

约去公因数。

$y = 1 - \frac{1}{1}$

解题步骤 1.2.3.1.2.2

重写表达式。

$y = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = 1 - 1$

解题步骤 1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$y = 0$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x - \frac{1}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.6

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$1 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.10

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$1 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.11

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.12

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$1 + 2 x^{- 3} + 0$

解题步骤 2.2.13

将 $2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$1 + 2 x^{- 3}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$1 + \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$\frac{2}{x^{3}} + 1$

解题步骤 2.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{2}{{(1)}^{3}} + 1$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{1} + 1$

解题步骤 2.5.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 + 1$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $3$ 和给定点 $(1, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 3 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 3 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 3 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.2

化简 $3 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

运用分配律。

$y = 3 x + 3 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 3 x - 3$

解题步骤 4

微积分学 示例

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