微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 13 x^{2} + 36$ , $x = 1$

解题步骤 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = {(1)}^{4} - 13 {(1)}^{2} + 36$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 1^{4} - 13 {(1)}^{2} + 36$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = 1^{4} - 13 \cdot 1^{2} + 36$

解题步骤 1.2.3

去掉圆括号。

$y = {(1)}^{4} - 13 {(1)}^{2} + 36$

解题步骤 1.2.4

化简 ${(1)}^{4} - 13 {(1)}^{2} + 36$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$y = 1 - 13 {(1)}^{2} + 36$

解题步骤 1.2.4.1.2

一的任意次幂都为一。

$y = 1 - 13 \cdot 1 + 36$

解题步骤 1.2.4.1.3

将 $- 13$ 乘以 $1$ 。

$y = 1 - 13 + 36$

解题步骤 1.2.4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.2.4.2.1

从 $1$ 中减去 $13$ 。

$y = - 12 + 36$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $- 12$ 和 $36$ 相加。

$y = 24$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 24$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 13 x^{2} + 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 13 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 13 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 13 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 13 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 13$ 。

$4 x^{3} - 26 x + \frac{d}{d x} [36]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 26 x + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $4 x^{3} - 26 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} - 26 x$

解题步骤 2.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$4 {(1)}^{3} - 26 \cdot 1$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$4 \cdot 1 - 26 \cdot 1$

解题步骤 2.5.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 - 26 \cdot 1$

解题步骤 2.5.1.3

将 $- 26$ 乘以 $1$ 。

$4 - 26$

解题步骤 2.5.2

从 $4$ 中减去 $26$ 。

$- 22$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- 22$ 和给定点 $(1, 24)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (24) = - 22 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 24 = - 22 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- 22 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 24 = 0 + 0 - 22 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 24 = - 22 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 24 = - 22 x - 22 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 22$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 24 = - 22 x + 22$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $24$ 。

$y = - 22 x + 22 + 24$

解题步骤 3.3.2.2

将 $22$ 和 $24$ 相加。

$y = - 22 x + 46$

解题步骤 4

微积分学 示例

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