微积分学示例

$f (x) = 2 x + \frac{5}{x}$ , $x = 4$

解题步骤 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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解题步骤 1.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

解题步骤 1.2.2

化简 $2 (4) + \frac{5}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = 8 + \frac{5}{4}$

解题步骤 1.2.2.2

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = 8 \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{4}$

解题步骤 1.2.2.3

组合 $8$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{8 \cdot 4}{4} + \frac{5}{4}$

解题步骤 1.2.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{8 \cdot 4 + 5}{4}$

解题步骤 1.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.2.5.1

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{32 + 5}{4}$

解题步骤 1.2.2.5.2

将 $32$ 和 $5$ 相加。

$y = \frac{37}{4}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 4$ 和 $y = \frac{37}{4}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x + \frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$2 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 + 5 (- x^{- 2})$

解题步骤 2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$2 - 5 x^{- 2}$

解题步骤 2.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 - 5 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

合并项。

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解题步骤 2.5.1.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$2 + \frac{- 5}{x^{2}}$

解题步骤 2.5.1.2

将负号移到分数的前面。

$2 - \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$- \frac{5}{x^{2}} + 2$

解题步骤 2.6

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$- \frac{5}{{(4)}^{2}} + 2$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{5}{16} + 2$

解题步骤 2.7.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$- \frac{5}{16} + 2 \cdot \frac{16}{16}$

解题步骤 2.7.3

组合 $2$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$- \frac{5}{16} + \frac{2 \cdot 16}{16}$

解题步骤 2.7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 5 + 2 \cdot 16}{16}$

解题步骤 2.7.5

化简分子。

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解题步骤 2.7.5.1

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$\frac{- 5 + 32}{16}$

解题步骤 2.7.5.2

将 $- 5$ 和 $32$ 相加。

$\frac{27}{16}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $\frac{27}{16}$ 和给定点 $(4, \frac{37}{4})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{37}{4}) = \frac{27}{16} \cdot (x - (4))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $\frac{27}{16} \cdot (x - 4)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - \frac{37}{4} = 0 + 0 + \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} x + \frac{27}{16} \cdot - 4$

解题步骤 3.3.1.4

组合 $\frac{27}{16}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{16} \cdot - 4$

解题步骤 3.3.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.5.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 (4)} \cdot - 4$

解题步骤 3.3.1.5.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 3.3.1.5.3

约去公因数。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 3.3.1.5.4

重写表达式。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.6

组合 $\frac{27}{4}$ 和 $- 1$ 。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27 \cdot - 1}{4}$

解题步骤 3.3.1.7

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1.7.1

将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27}{4}$

解题步骤 3.3.1.7.2

将负号移到分数的前面。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{37}{4}$ 。

$y = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4} + \frac{37}{4}$

解题步骤 3.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27 + 37}{4}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $- 27$ 和 $37$ 相加。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{10}{4}$

解题步骤 3.3.2.4

约去 $10$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.4.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 (5)}{4}$

解题步骤 3.3.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.4.2.2

约去公因数。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.4.2.3

重写表达式。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{5}{2}$

解题步骤 3.3.3

重新排序项。

$y = \frac{27}{16} x + \frac{5}{2}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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