微积分学示例

$g (x) = \frac{2 x - 3}{7 x + 4}$ , $x = 4$

解题步骤 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

解题步骤 1.2.2

化简 $\frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{8 - 3}{7 (4) + 4}$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$y = \frac{5}{7 (4) + 4}$

解题步骤 1.2.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.2.1

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{5}{28 + 4}$

解题步骤 1.2.2.2.2

将 $28$ 和 $4$ 相加。

$y = \frac{5}{32}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 4$ 和 $y = \frac{5}{32}$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x - 3$ 且 $g (x) = 7 x + 4$ 。

$\frac{(7 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $2 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{(7 x + 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(7 x + 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(7 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(7 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(7 x + 4) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(7 x + 4) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.2

将 $2$ 移到 $7 x + 4$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (7 x + 4) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.7

根据加法法则， $7 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.8

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.10

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.11

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + 0)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.12

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.12.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) \cdot 7}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2.12.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (7 x + 4) - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{14 x + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{14 x + 8 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{14 x + 8 - 14 x - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.4

将 $- 7$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{14 x + 8 - 14 x + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2

合并 $14 x + 8 - 14 x + 21$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.2.1

从 $14 x$ 中减去 $14 x$ 。

$\frac{0 + 8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$\frac{8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.3

将 $8$ 和 $21$ 相加。

$\frac{29}{{(7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$\frac{29}{{(7 (4) + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.5

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{29}{{(28 + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

将 $28$ 和 $4$ 相加。

$\frac{29}{32^{2}}$

解题步骤 2.5.3

对 $32$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{29}{1024}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用斜率 $\frac{29}{1024}$ 和给定点 $(4, \frac{5}{32})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{5}{32}) = \frac{29}{1024} \cdot (x - (4))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

化简 $\frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - \frac{5}{32} = 0 + 0 + \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} x + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

解题步骤 3.3.1.4

组合 $\frac{29}{1024}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

解题步骤 3.3.1.5

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.5.1

从 $1024$ 中分解出因数 $4$ 。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 (256)} \cdot - 4$

解题步骤 3.3.1.5.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 3.3.1.5.3

约去公因数。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 3.3.1.5.4

重写表达式。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{256} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.6

组合 $\frac{29}{256}$ 和 $- 1$ 。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29 \cdot - 1}{256}$

解题步骤 3.3.1.7

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.7.1

将 $29$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29}{256}$

解题步骤 3.3.1.7.2

将负号移到分数的前面。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{5}{32}$ 。

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32}$

解题步骤 3.3.2.2

要将 $\frac{5}{32}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 3.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $256$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.3.1

将 $\frac{5}{32}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{32 \cdot 8}$

解题步骤 3.3.2.3.2

将 $32$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{256}$

解题步骤 3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 5 \cdot 8}{256}$

解题步骤 3.3.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.5.1

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 40}{256}$

解题步骤 3.3.2.5.2

将 $- 29$ 和 $40$ 相加。

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{11}{256}$

解题步骤 3.3.3

重新排序项。

$y = \frac{29}{1024} x + \frac{11}{256}$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例