微积分学示例

$f (x) = \frac{3 x - 4}{4 x - 3}$ , $x = 1$

解题步骤 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$

解题步骤 1.2.2

化简 $\frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{3 - 4}{4 (1) - 3}$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$y = \frac{- 1}{4 (1) - 3}$

解题步骤 1.2.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1}{4 - 3}$

解题步骤 1.2.2.2.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$y = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 1.2.2.3

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = - 1$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x - 4$ 且 $g (x) = 4 x - 3$ 。

$\frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $3 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{(4 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(4 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(4 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(4 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(4 x - 3) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(4 x - 3) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.2

将 $3$ 移到 $4 x - 3$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (4 x - 3) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.7

根据加法法则， $4 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.11

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.12

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.12.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.12.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (4 x - 3) - 4 (3 x - 4)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x - 4)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 x + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{12 x - 9 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{12 x - 9 - 12 x - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{12 x - 9 - 12 x + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2

合并 $12 x - 9 - 12 x + 16$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.2.1

从 $12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$\frac{0 - 9 + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2.2

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$\frac{- 9 + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.3

将 $- 9$ 和 $16$ 相加。

$\frac{7}{{(4 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{7}{{(4 (1) - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7}{{(4 - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.5.1.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{7}{1^{2}}$

解题步骤 2.5.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{7}{1}$

解题步骤 2.5.2

用 $7$ 除以 $1$ 。

$7$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用斜率 $7$ 和给定点 $(1, - 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 1) = 7 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 1 = 7 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

化简 $7 \cdot (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y + 1 = 0 + 0 + 7 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 1 = 7 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y + 1 = 7 x + 7 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$y + 1 = 7 x - 7$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = 7 x - 7 - 1$

解题步骤 3.3.2.2

从 $- 7$ 中减去 $1$ 。

$y = 7 x - 8$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例