微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 ${(i - 1)}^{2}$ 重写为 $(i - 1) (i - 1)$ 。

$(i - 1) (i - 1)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(i - 1) (i - 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $i$ 乘以 $i$ 。

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $i$ 的左侧。

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.4

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$i^{2} - i - i + 1$

解题步骤 1.3.2

从 $- i$ 中减去 $i$ 。

$i^{2} - 2 i + 1$

解题步骤 1.4

重写该总和。

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

解题步骤 3

计算 $\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 3.2

将值代入公式中。

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $20$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

解题步骤 3.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

解题步骤 3.3.2

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $2$ 乘以 $20$ 。

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $20$ 和 $1$ 相加。

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $10$ 乘以 $21$ 。

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

解题步骤 3.3.2.4

将 $40$ 和 $1$ 相加。

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

解题步骤 3.3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $210$ 乘以 $41$ 。

$\frac{8610}{3}$

解题步骤 3.3.3.2

用 $8610$ 除以 $3$ 。

$2870$

解题步骤 4

计算 $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ 。

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解题步骤 4.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 4.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $20$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $20$ 乘以 $21$ 。

$- 2 (\frac{420}{2})$

解题步骤 4.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$- 1 \cdot 420$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1$ 乘以 $420$ 。

$- 420$

解题步骤 5

计算 $\sum_{i = 1}^{20} 1$ 。

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解题步骤 5.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 5.2

将值代入公式中。

$(1) (20)$

解题步骤 5.3

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$20$

解题步骤 6

将求和的总和相加。

$2870 - 420 + 20$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

从 $2870$ 中减去 $420$ 。

$2450 + 20$

解题步骤 7.2

将 $2450$ 和 $20$ 相加。

$2470$

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