微积分学示例

$\sum_{i = 2}^{24} 5 i^{2} + 8$

解题步骤 1

分解总和使 $i$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 2}^{24} 5 i^{2} + 8 = \sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8 - \sum_{k = 1}^{1} 5 i^{2} + 8$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8 = 5 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} + \sum_{k = 1}^{24} 8$

解题步骤 2.2

计算 $5 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 2.2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(5) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.3.1.1

将 $24$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

解题步骤 2.2.3.1.2

合并指数。

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解题步骤 2.2.3.1.2.1

将 $24$ 乘以 $25$ 。

$5 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

解题步骤 2.2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$5 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

解题步骤 2.2.3.1.3

将 $48$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{600 \cdot 49}{6}$

解题步骤 2.2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.3.2.1

将 $600$ 乘以 $49$ 。

$5 (\frac{29400}{6})$

解题步骤 2.2.3.2.2

用 $29400$ 除以 $6$ 。

$5 \cdot 4900$

解题步骤 2.2.3.2.3

将 $5$ 乘以 $4900$ 。

$24500$

解题步骤 2.3

计算 $\sum_{k = 1}^{24} 8$ 。

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解题步骤 2.3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.3.2

将值代入公式中。

$(8) (24)$

解题步骤 2.3.3

将 $8$ 乘以 $24$ 。

$192$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$24500 + 192$

解题步骤 2.5

将 $24500$ 和 $192$ 相加。

$24692$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{1} 5 i^{2} + 8$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $i$ 每个取值的序列。

$5 \cdot 1^{2} + 8$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$5 \cdot 1 + 8$

解题步骤 3.2.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + 8$

解题步骤 3.2.3

将 $5$ 和 $8$ 相加。

$13$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$24692 - 13$

解题步骤 5

从 $24692$ 中减去 $13$ 。

$24679$

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