微积分学示例

$f (x) = (- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 x - 5)$ , $x = 0$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 5 x^{2} - 5 x - 2$ 且 $g (x) = - 4 x - 5$ 。

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 4 x - 5] + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 4 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

解题步骤 2.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

解题步骤 2.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

解题步骤 2.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 + 0) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) \cdot - 4 + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

解题步骤 2.6.2

将 $- 4$ 移到 $- 5 x^{2} - 5 x - 2$ 的左侧。

$- 4 \cdot (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $- 5 x^{2} - 5 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.8

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.10

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.11

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.13

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.14

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 + 0)$

解题步骤 2.15

将 $- 10 x - 5$ 和 $0$ 相加。

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5)$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 + (- 4 x - 5) (- 10 x) + (- 4 x - 5) \cdot - 5$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) + (- 4 x - 5) \cdot - 5$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.5

合并项。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 5$ 乘以 $- 4$ 。

$20 x^{2} - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.5.2

将 $- 5$ 乘以 $- 4$ 。

$20 x^{2} + 20 x - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.5.3

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$20 x^{2} + 20 x + 8 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.5.4

将 $- 10$ 乘以 $- 4$ 。

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x \cdot x - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 (x^{1} x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 (x^{1} x^{1}) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{1 + 1} - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.5.9

将 $- 10$ 乘以 $- 5$ 。

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.5.10

将 $- 5$ 乘以 $- 4$ 。

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x + 20 x - 5 \cdot - 5$

解题步骤 3.5.11

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x + 20 x + 25$

解题步骤 3.5.12

将 $50 x$ 和 $20 x$ 相加。

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 70 x + 25$

解题步骤 3.5.13

将 $20 x^{2}$ 和 $40 x^{2}$ 相加。

$60 x^{2} + 20 x + 8 + 70 x + 25$

解题步骤 3.5.14

将 $20 x$ 和 $70 x$ 相加。

$60 x^{2} + 90 x + 8 + 25$

解题步骤 3.5.15

将 $8$ 和 $25$ 相加。

$60 x^{2} + 90 x + 33$

解题步骤 4

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$60 {(0)}^{2} + 90 (0) + 33$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$60 \cdot 0 + 90 (0) + 33$

解题步骤 5.1.2

将 $60$ 乘以 $0$ 。

$0 + 90 (0) + 33$

解题步骤 5.1.3

将 $90$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 33$

解题步骤 5.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 33$

解题步骤 5.2.2

将 $0$ 和 $33$ 相加。

$33$

微积分学 示例

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