微积分学示例

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2}$

解题步骤 1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2} = \sum_{x = 1}^{8} 1 + \sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x} + \sum_{x = 1}^{8} x^{2}$

解题步骤 2

计算 $\sum_{x = 1}^{8} 1$ 。

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解题步骤 2.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.2

将值代入公式中。

$(1) (8)$

解题步骤 2.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8$

解题步骤 3

计算 $\sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x}$ 。

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解题步骤 3.1

从总和中因式分解出 $- 1$ 。

$(- 1) \sum_{x = 1}^{8} \frac{11}{x}$

解题步骤 3.2

展开 $x$ 每个取值的序列。

$- \frac{11}{1} - \frac{11}{2} - \frac{11}{3} + \dots - \frac{11}{8}$

解题步骤 3.3

化简展开式。

$- \frac{8371}{280}$

解题步骤 4

计算 $\sum_{x = 1}^{8} x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 4.2

将值代入公式中。

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

约去 $8$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

解题步骤 4.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

解题步骤 4.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

解题步骤 4.3.2.4

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

解题步骤 4.3.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $36$ 乘以 $17$ 。

$\frac{612}{3}$

解题步骤 4.3.3.2

用 $612$ 除以 $3$ 。

$204$

解题步骤 5

将求和的总和相加。

$8 - \frac{8371}{280} + 204$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

求公分母。

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解题步骤 6.1.1

将 $8$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{8}{1} - \frac{8371}{280} + 204$

解题步骤 6.1.2

将 $\frac{8}{1}$ 乘以 $\frac{280}{280}$ 。

$\frac{8}{1} \cdot \frac{280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

解题步骤 6.1.3

将 $\frac{8}{1}$ 乘以 $\frac{280}{280}$ 。

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

解题步骤 6.1.4

将 $204$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1}$

解题步骤 6.1.5

将 $\frac{204}{1}$ 乘以 $\frac{280}{280}$ 。

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1} \cdot \frac{280}{280}$

解题步骤 6.1.6

将 $\frac{204}{1}$ 乘以 $\frac{280}{280}$ 。

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204 \cdot 280}{280}$

解题步骤 6.2

在公分母上合并分子。

$\frac{8 \cdot 280 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

解题步骤 6.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1

将 $8$ 乘以 $280$ 。

$\frac{2240 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

解题步骤 6.3.2

将 $204$ 乘以 $280$ 。

$\frac{2240 - 8371 + 57120}{280}$

解题步骤 6.4

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.4.1

从 $2240$ 中减去 $8371$ 。

$\frac{- 6131 + 57120}{280}$

解题步骤 6.4.2

将 $- 6131$ 和 $57120$ 相加。

$\frac{50989}{280}$

微积分学 示例

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