微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{11} 2^{i - 1}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $2^{i + 1 - 1}$ 和 $2^{i - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $2^{i + 1 - 1}$ 中分解出因数 $2^{i - 1}$ 。

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.1.2.2

约去公因数。

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.1.2.3

重写表达式。

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

解题步骤 2.2.1.2.4

用 $2^{i + 0 - (i - 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

解题步骤 2.2.2

将 $i$ 和 $0$ 相加。

$r = 2^{i - (i - 1)}$

解题步骤 2.2.3

化简每一项。

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解题步骤 2.2.3.1

运用分配律。

$r = 2^{i - i - - 1}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r = 2^{i - i + 1}$

解题步骤 2.2.4

从 $i$ 中减去 $i$ 。

$r = 2^{0 + 1}$

解题步骤 2.2.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$r = 2^{1}$

解题步骤 2.2.6

计算指数。

$r = 2$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $2^{i - 1}$ 以替换 $i$ 。

$a = 2^{1 - 1}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a = 2^{0}$

解题步骤 3.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 1$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$1 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

对 $2$ 进行 $11$ 次方运算。

$\frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2048$ 。

$\frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.3

从 $1$ 中减去 $2048$ 。

$\frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 5.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2047}{1 - 2}$

解题步骤 5.3.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 2047}{- 1}$

解题步骤 5.4

用 $- 2047$ 除以 $- 1$ 。

$2047$

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