微积分学示例

$f' (x) = 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ , $x = 5$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$12 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{2} + 30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} + 30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.4.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{2} + 30 x + 10 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{2} + 30 x + 10 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $12 x^{2} + 30 x + 10$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{2} + 30 x + 10$

解题步骤 2

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (5) = 12 {(5)}^{2} + 30 (5) + 10$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (5) = 12 \cdot 25 + 30 (5) + 10$

解题步骤 3.2

将 $12$ 乘以 $25$ 。

$f'' (5) = 300 + 30 (5) + 10$

解题步骤 3.3

将 $30$ 乘以 $5$ 。

$f'' (5) = 300 + 150 + 10$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将 $300$ 和 $150$ 相加。

$f'' (5) = 450 + 10$

解题步骤 4.2

将 $450$ 和 $10$ 相加。

$f'' (5) = 460$

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