微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$ , $x = 3$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 27}$ 重写成 ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 27$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 27$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} + 27$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $x^{2} + 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [27])$

解题步骤 1.10

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

解题步骤 1.11

化简项。

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解题步骤 1.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

解题步骤 1.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 1.11.3

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.4

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.5

重写表达式。

$\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = \frac{3}{{({(3)}^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = \frac{3}{{(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.2

将 $9$ 和 $27$ 相加。

$f' (3) = \frac{3}{36^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$f' (3) = \frac{3}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

约去公因数。

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 3.5.2

重写表达式。

$f' (3) = \frac{3}{6}$

解题步骤 3.6

计算指数。

$f' (3) = \frac{3}{6}$

解题步骤 4

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (3) = \frac{3 (1)}{6}$

解题步骤 4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$f' (3) = \frac{1}{2}$

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