微积分学示例

$h (x) = 5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ , $x = 4$

解题步骤 1

求导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(9 x + 7)}^{4}$ 。

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(9 x + 7)}^{4}] + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 9 x + 7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x + 7$ 。

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$5 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.3

使用 $9 x + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

根据加法法则， $9 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.4.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.4.4

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.4.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + 0)) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.4.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.6.1

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \cdot 9) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.4.6.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} (2 x))$

解题步骤 1.4.8

将 $2$ 移到 ${(9 x + 7)}^{4}$ 的左侧。

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + 2 \cdot {(9 x + 7)}^{4} x)$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

解题步骤 1.5.2

将 $36$ 乘以 $5$ 。

$180 (x^{2} ({(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

解题步骤 1.5.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 ({(9 x + 7)}^{4} x)$

解题步骤 1.5.4

从 $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$ 中分解出因数 $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.1

从 $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3}$ 中分解出因数 $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ 。

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$

解题步骤 1.5.4.2

从 $10 {(9 x + 7)}^{4} x$ 中分解出因数 $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ 。

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$

解题步骤 1.5.4.3

从 $10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$ 中分解出因数 $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ 。

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x + 9 x + 7)$

解题步骤 1.5.5

将 $18 x$ 和 $9 x$ 相加。

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (27 x + 7)$

解题步骤 2

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$h' (4) = 10 (4) {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

解题步骤 3

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$h' (4) = 40 {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

解题步骤 4

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$h' (4) = 40 {(36 + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

解题步骤 5

将 $36$ 和 $7$ 相加。

$h' (4) = 40 \cdot (43^{3} (27 (4) + 7))$

解题步骤 6

对 $43$ 进行 $3$ 次方运算。

$h' (4) = 40 \cdot (79507 (27 (4) + 7))$

解题步骤 7

将 $40$ 乘以 $79507$ 。

$h' (4) = 3180280 (27 (4) + 7)$

解题步骤 8

将 $27$ 乘以 $4$ 。

$h' (4) = 3180280 (108 + 7)$

解题步骤 9

将 $108$ 和 $7$ 相加。

$h' (4) = 3180280 \cdot 115$

解题步骤 10

将 $3180280$ 乘以 $115$ 。

$h' (4) = 365732200$

微积分学 示例

微积分学示例