微积分学示例

$f (r) = {(2 r)}^{\frac{2}{3}}$ , $r = 5$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1.1

从 $2 r$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d r} [{(2 (r))}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2

对 $2 (r)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d r} [2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.2

因为 $2^{\frac{2}{3}}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}$ 对 $r$ 的导数是 $2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$ 。

$2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 3}{3}})$

解题步骤 1.7.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 1.8

将负号移到分数的前面。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 1.9

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $r^{- \frac{1}{3}}$ 。

$2^{\frac{2}{3}} \frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.10

组合 $2^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{2^{\frac{2}{3}} (2 r^{- \frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 1.11

通过指数相加将 $2^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $2$ 。

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解题步骤 1.11.1

移动 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.11.2

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.11.2.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{1 + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.11.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.11.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{3 + 2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.11.5

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2^{\frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $r^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 r^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $r$ 。

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 {(5)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 3

去掉圆括号。

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$

微积分学 示例

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