微积分学示例

$f (x) = 5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ , $x = 2$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ 。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

解题步骤 1.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ 。

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

解题步骤 1.2.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$0 - (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

解题步骤 1.2.2.3

使用 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

解题步骤 1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} - 3 x + 3$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} - 3 x + 3$ 。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

解题步骤 1.2.3.3

使用 $x^{2} - 3 x + 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

解题步骤 1.2.4

根据加法法则， $x^{2} - 3 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

解题步骤 1.2.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])))$

解题步骤 1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])))$

解题步骤 1.2.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + 0)))$

解题步骤 1.2.9

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 + 0)))$

解题步骤 1.2.10

将 $2 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

解题步骤 1.2.11

组合 $3$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ 。

$0 - (\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

解题步骤 1.2.12

组合 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 和 $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ 。

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

解题步骤 1.2.13

将 $3$ 移到 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 的左侧。

$0 - (\frac{3 \cdot {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

解题步骤 1.2.14

约去 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 和 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.14.1

从 $3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 。

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

解题步骤 1.2.14.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.14.2.1

从 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ 。

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

解题步骤 1.2.14.2.2

约去公因数。

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

解题步骤 1.2.14.2.3

重写表达式。

$0 - (\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3))$

$0 - \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

从 $0$ 中减去 $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ 。

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

解题步骤 1.3.2

重新排序 $- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ 的因式。

$- (2 x - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$(- (2 x) - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

解题步骤 1.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 x - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

解题步骤 1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$(- 2 x + 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

解题步骤 1.3.6

将 $- 2 x + 3$ 乘以 $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$ 。

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 3}{x^{2} - 3 x + 3}$

解题步骤 1.3.7

将 $3$ 移到 $- 2 x + 3$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

解题步骤 1.3.8

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x) + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

解题步骤 1.3.9

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

解题步骤 1.3.10

从 $- (2 x) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

解题步骤 1.3.11

将 $- (2 x - 3)$ 重写为 $- 1 (2 x - 3)$ 。

$\frac{3 (- 1 (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

解题步骤 1.3.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

解题步骤 2

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = - \frac{3 (2 (2) - 3)}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = - \frac{3 (4 - 3)}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

解题步骤 3.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 3 \cdot 2 + 3}$

解题步骤 4.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 6 + 3}$

解题步骤 4.3

从 $4$ 中减去 $6$ 。

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{- 2 + 3}$

解题步骤 4.4

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{1}$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (2) = - \frac{3}{1}$

解题步骤 5.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (2) = - 3$

微积分学 示例

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