微积分学示例

$s (t) = 2 t^{2} + 2 t$ , $t = 4$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 t^{2} + 2 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2 t]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 t) + \frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 t + \frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d t} [2 t]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$4 t + 2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 t + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 t + 2$

解题步骤 2

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $t$ 。

$s' (4) = 4 (4) + 2$

解题步骤 3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$s' (4) = 16 + 2$

解题步骤 4

将 $16$ 和 $2$ 相加。

$s' (4) = 18$

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