微积分学示例

$\frac{x}{x^{2} + 16}$

解题步骤 1

将 $\frac{x}{x^{2} + 16}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 16$ 。

$\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $x^{2} + 16$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.7

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - x^{2} + 16$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 16)}^{2}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.2.1

将 ${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.2

根据加法法则， $- x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.6

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.7

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 16$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 16$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{2} + 16$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4

求微分。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.2

根据加法法则， $x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.4

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.5

化简表达式。

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解题步骤 2.2.4.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.5.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 16$ 的左侧。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) (2 \cdot (x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.5.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

运用分配律。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.2

运用分配律。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.2

将 ${(x^{2} + 16)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ 。

$\frac{- 2 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.3.1

运用分配律。

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.3.2

运用分配律。

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.3.3

运用分配律。

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.2

将 $16$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.3

将 $16$ 乘以 $16$ 。

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.2

将 $16 x^{2}$ 和 $16 x^{2}$ 相加。

$\frac{- 2 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.5

运用分配律。

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (32 x^{2}) - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.6

化简。

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解题步骤 2.2.5.3.1.6.1

将 $32$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.6.2

将 $- 2$ 乘以 $256$ 。

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 512) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.7

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{4} x - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8

化简。

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解题步骤 2.2.5.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x \cdot x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x^{1} x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{1 + 2} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.9.2

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.10

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.10.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.10.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x^{1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.10.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.11.1

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.11.2

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.11.3

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{2} x - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x \cdot x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x^{1} x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{1 + 2} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.4

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.5

将 $16$ 乘以 $- 64$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.2

从 $64 x^{3}$ 中减去 $64 x^{3}$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 0 - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.3

将 $4 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.2

将 $- 2 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.3

从 $- 512 x$ 中减去 $1024 x$ 。

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.4.1

从 $2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 2.2.5.4.1.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.2

从 $- 64 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.3

从 $- 1536 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.4

从 $2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.5

从 $2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.4

使用 AC 法来对 $u^{2} - 32 u - 768$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.5.4.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 768$ ，和为 $- 32$ 。

$- 48, 16$

解题步骤 2.2.5.4.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.5

约去 $x^{2} + 16$ 和 ${(x^{2} + 16)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.5.1

从 $2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ 中分解出因数 $x^{2} + 16$ 。

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.5.5.2.1

从 ${(x^{2} + 16)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 16$ 。

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 2.2.5.5.2.2

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 2.2.5.5.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$2 x (x^{2} - 48) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 48 = 0$

解题步骤 3.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.3.3

将 $x^{2} - 48$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $x^{2} - 48$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 48 = 0$

解题步骤 3.3.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 48 = 0$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1

在等式两边都加上 $48$ 。

$x^{2} = 48$

解题步骤 3.3.3.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{48}$

解题步骤 3.3.3.2.3

化简 $\pm \sqrt{48}$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.3.1

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.3.1.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \pm \sqrt{16 (3)}$

解题步骤 3.3.3.2.3.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

解题步骤 3.3.3.2.3.2

从根式下提出各项。

$x = \pm 4 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 4 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 4 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.4

最终解为使 $2 x (x^{2} - 48) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 16}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{0 + 16}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$f (0) = \frac{0}{16}$

解题步骤 4.1.2.2

用 $0$ 除以 $16$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4.3

将 $4 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $4 \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{{(4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简分母。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $4 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

解题步骤 4.3.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

解题步骤 4.3.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

解题步骤 4.3.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.3.4.1

约去公因数。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

解题步骤 4.3.2.1.3.4.2

重写表达式。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

解题步骤 4.3.2.1.3.5

计算指数。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $48$ 和 $16$ 相加。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{64}$

解题步骤 4.3.2.2

约去 $4$ 和 $64$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

从 $4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 (\sqrt{3})}{64}$

解题步骤 4.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.2.1

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

解题步骤 4.3.2.2.2.2

约去公因数。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

解题步骤 4.3.2.2.2.3

重写表达式。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{16}$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $\frac{\sqrt{3}}{16}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{16}$

解题步骤 4.4

通过将 $4 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ 中求得的点为 $(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

解题步骤 4.5

将 $- 4 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.5.1

使用表达式中的 $- 4 \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

解题步骤 4.5.2

化简结果。

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解题步骤 4.5.2.1

化简分母。

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解题步骤 4.5.2.1.1

对 $- 4 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

解题步骤 4.5.2.1.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

解题步骤 4.5.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.5.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

解题步骤 4.5.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

解题步骤 4.5.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

解题步骤 4.5.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.3.4.1

约去公因数。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

解题步骤 4.5.2.1.3.4.2

重写表达式。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

解题步骤 4.5.2.1.3.5

计算指数。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

解题步骤 4.5.2.1.4

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

解题步骤 4.5.2.1.5

将 $48$ 和 $16$ 相加。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{64}$

解题步骤 4.5.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.5.2.2.1

约去 $- 4$ 和 $64$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.1.1

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{64}$

解题步骤 4.5.2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.1.2.1

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 (16)}$

解题步骤 4.5.2.2.1.2.2

约去公因数。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.2.1.2.3

重写表达式。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{16}$

解题步骤 4.5.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (- 4 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{16}$

解题步骤 4.5.2.3

最终答案为 $- \frac{\sqrt{3}}{16}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{16}$

解题步骤 4.6

通过将 $- 4 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ 中求得的点为 $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

解题步骤 4.7

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16}), (- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 4 \sqrt{3}) \cup (- 4 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 4 \sqrt{3}) \cup (4 \sqrt{3}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 7.02820323$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{2 (- 7.02820323) ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 7.02820323$ 。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 14.05640646 ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 14.05640646$ 乘以 ${(- 7.02820323)}^{2} - 48$ 。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $- 7.02820323$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $49.39564064$ 和 $16$ 相加。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $65.39564064$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{279670.33076553}$

解题步骤 6.2.3

用 $- 19.61769219$ 除以 $279670.33076553$ 。

$f'' (- 7.02820323) = - 0.00007014$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- 0.00007014$ 。

$- 0.00007014$

解题步骤 6.3

在 $- 7.02820323$ ，二阶导数为 $- 7.01457753 E - 5$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 3.46410161$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{2 (- 3.46410161) ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 3.46410161$ 。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{- 6.92820323 ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 6.92820323$ 乘以 ${(- 3.46410161)}^{2} - 48$ 。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $- 3.46410161$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $12$ 和 $16$ 相加。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{28^{3}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $28$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{21952}$

解题步骤 7.2.3

用 $249.41531628$ 除以 $21952$ 。

$f'' (- 3.46410161) = 0.01136184$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $0.01136184$ 。

$0.01136184$

解题步骤 7.3

在 $- 3.46410161$ 处，二阶导数为 $0.01136184$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(0, 4 \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $3.46410161$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.46410161) = \frac{2 (3.46410161) ({(3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3.46410161$ 。

$f'' (3.46410161) = \frac{6.92820323 ({3.46410161}^{2} - 48)}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $6.92820323$ 乘以 ${3.46410161}^{2} - 48$ 。

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

对 $3.46410161$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $12$ 和 $16$ 相加。

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{28^{3}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $28$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{21952}$

解题步骤 8.2.3

用 $- 249.41531628$ 除以 $21952$ 。

$f'' (3.46410161) = - 0.01136184$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $- 0.01136184$ 。

$- 0.01136184$

解题步骤 8.3

在 $3.46410161$ ，二阶导数为 $- 0.01136184$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, 4 \sqrt{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 4 \sqrt{3})$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(4 \sqrt{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $7.02820323$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (7.02820323) = \frac{2 (7.02820323) ({(7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简分子。

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解题步骤 9.2.1.1

将 $2$ 乘以 $7.02820323$ 。

$f'' (7.02820323) = \frac{14.05640646 ({7.02820323}^{2} - 48)}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $14.05640646$ 乘以 ${7.02820323}^{2} - 48$ 。

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

对 $7.02820323$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $49.39564064$ 和 $16$ 相加。

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.3

对 $65.39564064$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{279670.33076553}$

解题步骤 9.2.3

用 $19.61769219$ 除以 $279670.33076553$ 。

$f'' (7.02820323) = 0.00007014$

解题步骤 9.2.4

最终答案为 $0.00007014$ 。

$0.00007014$

解题步骤 9.3

在 $7.02820323$ 处，二阶导数为 $7.01457753 E - 5$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(4 \sqrt{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(4 \sqrt{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ 。

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例