微积分学示例

$\frac{12 e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{12 e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{12 e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.1

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$12 lim_{x \to \infty} \frac{e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.1.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$12 \frac{lim_{x \to \infty} e^{- 2 x}}{lim_{x \to \infty} {(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为指数 $- 2 x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- 2 x}$ 趋于 $0$ 。

$12 \frac{0}{lim_{x \to \infty} {(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.3

计算极限值。

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解题步骤 3.3.1

使用极限幂法则把 ${(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$12 \frac{0}{{(lim_{x \to \infty} 1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$12 \frac{0}{{(lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$12 \frac{0}{{(1 + lim_{x \to \infty} 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$12 \frac{0}{{(1 + 3 lim_{x \to \infty} e^{- 2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为指数 $- 2 x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- 2 x}$ 趋于 $0$ 。

$12 \frac{0}{{(1 + 3 \cdot 0)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简答案。

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解题步骤 3.5.1

化简分母。

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解题步骤 3.5.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$12 \frac{0}{{(1 + 0)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$12 \frac{0}{1^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3

一的任意次幂都为一。

$12 (\frac{0}{1})$

解题步骤 3.5.2

用 $0$ 除以 $1$ 。

$12 \cdot 0$

解题步骤 3.5.3

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 0$

不存在斜渐近线

解题步骤 7

微积分学 示例

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