微积分学示例

$f (x) = - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $- {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to \infty} {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

解题步骤 3.2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 3.2.1

将 ${(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$ 。

$- lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$

解题步骤 3.2.2

通过将 $e^{- x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})$ 。

$- lim_{x \to \infty} e^{e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

解题步骤 3.3

将极限移入指数中。

$- e^{lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

解题步骤 3.4

将 $e^{- x} \ln (x - 0.086)$ 重写为 $\frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}$ 。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}}$

解题步骤 3.5

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.5.1.1

取分子和分母极限值。

$- e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 0.086)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

解题步骤 3.5.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$- e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

解题步骤 3.5.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 3.5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 3.5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.5.3.1

对分子和分母进行求导。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

解题步骤 3.5.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x - 0.086$ 。

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解题步骤 3.5.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 0.086$ 。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

解题步骤 3.5.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

解题步骤 3.5.3.2.3

使用 $x - 0.086$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

解题步骤 3.5.3.3

根据加法法则， $x - 0.086$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086]$ 。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

解题步骤 3.5.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

解题步骤 3.5.3.5

因为 $- 0.086$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.086$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

解题步骤 3.5.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

解题步骤 3.5.3.7

将 $\frac{1}{x - 0.086}$ 乘以 $1$ 。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

解题步骤 3.5.3.8

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{e^{x}}}$

解题步骤 3.5.4

将分子乘以分母的倒数。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 0.086} \cdot \frac{1}{e^{x}}}$

解题步骤 3.5.5

将 $\frac{1}{x - 0.086}$ 乘以 $\frac{1}{e^{x}}$ 。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}}$

解题步骤 3.5.6

将 $\frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}$ 中的因式重新排序。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}}$

解题步骤 3.6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}$ 趋于 $0$ 。

$- e^{0}$

解题步骤 3.7

化简答案。

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解题步骤 3.7.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 3.7.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = - 1$

解题步骤 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = - 1$

不存在斜渐近线

解题步骤 7

微积分学 示例

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