微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 4$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

从 $x^{4} + 3 x^{3} - 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.1.2

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.1.3

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.1.4

从 $x \cdot x^{3} + x (3 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.1.5

从 $x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2

展开 $x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)$ 。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2.3

去掉圆括号。

$\frac{x \cdot x^{3} + x \cdot (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2.4

将 $x$ 和 $3$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2.5

将 $x$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot x}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2.6

将 $3$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2.9

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{x^{4} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{4} + 3 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2.12

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

解题步骤 6.4

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

解题步骤 6.5

将新的商式项乘以除数。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

解题步骤 6.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} + 0 + \frac{x^{2}}{2}$ 中的所有符号

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

解题步骤 6.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

解题步骤 6.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

解题步骤 6.9

将被除数中的最高阶项 $3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

解题步骤 6.10

将新的商式项乘以除数。

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

解题步骤 6.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{3} + 0 + \frac{3 x}{2}$ 中的所有符号

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

解题步骤 6.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

解题步骤 6.13

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

解题步骤 6.14

将被除数中的最高阶项 $- \frac{x^{2}}{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

解题步骤 6.15

将新的商式项乘以除数。

						$\frac{x^{2}}{2}$	+	$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$\frac{x^{2}}{2}$
							+	$3 x^{3}$	-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$2 x$
							-	$3 x^{3}$	-	$0$	-	$\frac{3 x}{2}$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{7 x}{2}$	+	$0$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	+	$0$	-	$\frac{1}{4}$

解题步骤 6.16

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- \frac{x^{2}}{2} + 0 - \frac{1}{4}$ 中的所有符号

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

解题步骤 6.17

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

$\frac{7 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

解题步骤 6.18

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{- \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4}}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.19

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例