微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{5} {(2 i - 1)}^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 ${(2 i - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 i - 1) (2 i - 1)$ 。

$(2 i - 1) (2 i - 1)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 i - 1) (2 i - 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$2 i (2 i - 1) - 1 (2 i - 1)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$2 i (2 i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i - 1)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$2 i (2 i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 2 i \cdot i + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.2

通过指数相加将 $i$ 乘以 $i$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

移动 $i$ 。

$2 \cdot 2 (i \cdot i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $i$ 乘以 $i$ 。

$2 \cdot 2 i^{2} + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 i^{2} + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 i^{2} - 2 i - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 i^{2} - 2 i - 2 i - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 i^{2} - 2 i - 2 i + 1$

解题步骤 1.3.2

从 $- 2 i$ 中减去 $2 i$ 。

$4 i^{2} - 4 i + 1$

解题步骤 1.4

重写该总和。

$\sum_{i = 1}^{5} 4 i^{2} - 4 i + 1$

解题步骤 2

展开 $i$ 每个取值的序列。

$4 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 1 + 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 1 + 4 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 + 1 + \dots + 4 \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 1$

解题步骤 3

化简展开式。

$165$

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