微积分学示例

$y = \frac{1 + x}{1 - x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + x$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

将 $1 - x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.10

乘。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.10.2

将 $1 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.12

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.2.12.1

将 $1 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.12.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.12.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.12.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.12.4.1

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.12.4.2

重新排序项。

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ 重写为 ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = - x + 1$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x + 1$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 2.2.3

使用 $- x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 ({(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $- x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

解题步骤 2.3.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.7.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$4 {(- x + 1)}^{- 3}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.4.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$

解题步骤 3.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ 重写为 ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 3.1.2.2

将 ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 3}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 3}$ 且 $g (x) = - x + 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x + 1$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$4 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 3.2.3

使用 $- x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- 3 {(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$- 12 ({(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $- x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + 0)$

解题步骤 3.3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.3.7.1

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.7.2

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$12 {(- x + 1)}^{- 4}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$12 \frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.4.2

组合 $12$ 和 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ 。

$f''' (x) = \frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$

解题步骤 4.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ 重写为 ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ 。

$12 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 4.1.2.2

将 ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{4 \cdot - 1}]$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 4}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 4}$ 且 $g (x) = - x + 1$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x + 1$ 。

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$12 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 4.2.3

使用 $- x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 (- 4 {(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 4$ 乘以 $12$ 。

$- 48 ({(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $- x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + 0)$

解题步骤 4.3.7

化简表达式。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} \cdot - 1$

解题步骤 4.3.7.2

将 $- 1$ 乘以 $- 48$ 。

$48 {(- x + 1)}^{- 5}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$48 \frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.4.2

组合 $48$ 和 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48}{{(- x + 1)}^{5}}$

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